dowody indukcyjne liczb Fibonacciego

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Michal_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 10 gru 2008, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

dowody indukcyjne liczb Fibonacciego

Post autor: Michal_ » 10 gru 2008, o 15:07

Witam, mam do rozwiązania kilka zadań, ale w niektórych z nich mam problem z dowodem indukcyjnym, jeśli ktoś jest w stanie mi pomóc z góry dziękuje.

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) zachodzi:

1.\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k+1}F _{k}=F _{2n}+1}\)

2.\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n-1} F_{k}F_{k+1}=F _{2n} ^{2}}\)

3.\(\displaystyle{ F_{n-1}F_{n+1}-F ^{2} _{n}=(-1) ^{n}}\)

4.\(\displaystyle{ F_{2n+1}=F_{n}^{2} +F _{n+1} ^{2}}\)

5.\(\displaystyle{ F_{2n}=F_{n+1}^{2} -F _{n-1} ^{2}}\)

6.\(\displaystyle{ F_{3n}=F_{n}^{3} +F _{n+1} ^{3}-F _{n-1} ^{3}}\)

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

dowody indukcyjne liczb Fibonacciego

Post autor: Justka » 10 gru 2008, o 16:35

1.

Od razu dowód:

\(\displaystyle{ L=\sum_{k=0}^{2n+3} (-1)^{k+1}F_k=\sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^{k+1}F_k-F_{2n+2}+F_{2n+3} = F_{2n}+1 -F_{2n+2}+F_{2n+3}=F_{2n}+1-F_{2n+2}+(F_{2n+1}+F_{2n+2}) =F_{2n}+F_{2n+1}+1=F_{2n+2}+1=P}\)


2.

\(\displaystyle{ L=\sum_{k=0}^{2n+1}F_kF_{k+1}=\sum_{k=0}^{2n-1}F_kF_{k+1}+F_{2n}F_{2n+1}+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n}(F_{2n}+F_{2n+1})+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n}F_{2n+2}+F_{2n+1}F_{2n+2}=F_{2n+2}(F_{2n}+F_{2n+1})=F_{2n+2}^2 =P}\)

ODPOWIEDZ