równanie - liczby pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
marty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 296
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 33 razy

równanie - liczby pierwsze

Post autor: marty » 8 gru 2008, o 18:56

Wykaż, że istnieje tylko jedna para (x,y) liczb pierwszych, która spełnia równanie \(\displaystyle{ x^2 - 30 y^2 =1}\)

proszę o pomoc

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

równanie - liczby pierwsze

Post autor: Sylwek » 8 gru 2008, o 19:42

\(\displaystyle{ x^2=30y^2+1}\) - gdyby y było nieparzyste, to prawa strona dawałaby resztę 3 w dzieleniu przez 4, a kwadrat liczby całkowitej daje tylko resztę 0 lub 1 w dzieleniu przez 4 (pomyśl dlaczego), zatem y jest parzyste, a skoro zarazem jest pierwsze, to jedyna możliwość to \(\displaystyle{ y=2 x=11}\).

ODPOWIEDZ