Matematyka.pl

Bardzo prosiłbym o rozwiązanie jakiejś granicy z niżej wymienionych

4.1.10 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{2^x-8}{x-3}}\)

4.1.20 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}}\)

4.1.26 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{2x}}{x\sin{x}}}\)

4.1.30 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}}{\tan{x}}}\)


Odpowiedzi:

4.1.10 \(\displaystyle{ 8\ln{2}}\)

4.1.20 \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}}\)

4.1.26 \(\displaystyle{ 2}\)

4.1.30 \(\displaystyle{ 1}\)

w tym pierwszym przykladzie chyba powinno byc ze x \(\displaystyle{ \rightarrow}\)3

\(\displaystyle{ 2^{x}}\)= \(\displaystyle{ e^{ln2*x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 }}\) \(\displaystyle{ \frac{e^{ln2*x} -8}{x-3}}\)

z d'Hospitala

\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 }}\) \(\displaystyle{ e^{ln2*x}}\) *ln2

\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 }}\) \(\displaystyle{ 2^{x}}\)*ln2

=8ln2

2) z d'Hospitala

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}}\) \(\displaystyle{ \frac{sinx}{2x}}\)

znów z d'Hospitala

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}}\) \(\displaystyle{ \frac{cosx}{2}}\)

= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Wielkie dzięki, takie proste a cudowne
BTW a potrafi to ktoś rozwiązać bez De l'Hospitala?

BTW a potrafi to ktoś rozwiązać bez De l'Hospitala?

Jo
\(\displaystyle{ \frac{2^x-8}{x-3}=\frac{2^x-2^3}{x-3}=2^3\frac{2^{x-3}-1}{x-3}\to 2^3\ln 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos 2x}{x\sin x}=\frac{2\sin^2 x}{x\sin x}\to 2}\)
ostatnia granica w obecnej postaci=0

ad 4 chyba chodzi o 4.1.30 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1-\sin{x}}}{\tan{x}}}\)
Jesli tak to nalezy rozszerzyc (tj pomnozyc licznik i mianownik), \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1+\sin{x}}+\sqrt{1-\sin{x}}}}\) i ladnie sie uprosci

Lorek, jakieś magiczne skróty myślowe dla mnie nie do ogarnięcia ;p Może jak odpocznę, to zrozumiem

Jak nie zrozumiesz to pisz gdzie

No właśnie wstyd mi było pytać

Lorek pisze: \(\displaystyle{ 2^3\frac{2^{x-3}-1}{x-3}\to 2^3\ln 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos 2x}{x\sin x}=\frac{2\sin^2 x}{x\sin x}\to 2}\)
ostatnia granica w obecnej postaci=0

4.1.20 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2\frac{x}{2})}{4 (\frac{x}{2})^2} =\frac{1}{2}}\)

vizzdoom, no ale co konkretnie bo to w sumie wsio jest, najpierw parę przekształceń a potem elementarne granice