Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
vitar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wnętrza ziemi
Podziękował: 16 razy

Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Post autor: vitar » 7 gru 2008, o 14:29

Witam, zrobiłem parę zadań, ale nie wiem czy dobrze:

\(\displaystyle{ sin105=sin(60+45)=sin60 cos45 + cos45 sin60= \frac{ \sqrt{3} }{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{6} }{4} + \frac{ \sqrt{6} }{2} = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{6}}{2}}\)

- można to tak zostawić czy należy uprościć ? jeśli to jak ?

\(\displaystyle{ tg15= \frac{tg45 - tg30}{1 - tg45 tg30} = \frac{1 - \frac{ \sqrt{3} }{3} }{1 + \frac{ \sqrt{3} }{3} } = (1- \frac{ \sqrt{3} }{3}) (1+ \frac{ \sqrt{3} }{3}) = 1 + \frac{3}{ \sqrt{3} } - \frac{ \sqrt{3} }{3} - \frac{3 \sqrt{3} }{3 \sqrt{3} } = \frac{3 + \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3} }{3 \sqrt{3} } (czyli 1)}\)

-i co dalej z tym zrobić ? to jest rozwiązanie ? pewnie by trzeba pousuwać niewymierności ale jak ?

- znak zapytania dla tego zadania - cos22*30 (cosinus 22 stopnie i 30 minut) - jak to rozwiązać ?

Awatar użytkownika
Poodzian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 62 razy

Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Post autor: Poodzian » 7 gru 2008, o 15:42

Co do pierwszego, to coś pomieszałeś
Przyjrzyjmy się wzorowi na sumę kątów w sinusie:
\(\displaystyle{ \sin (\alpha+\beta)=\sin \cos \beta + \sin \beta \cos }\)

Będzie w takim razie: \(\displaystyle{ \sin (60^{0}+45^{0})=\sin 60^{0} \cos 45^{0} + \sin 45^{0} \cos 60^{0}}\), a to równe jest: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)
...czego bardziej uprościć się już nie da


Podobnie rzecz ma się z zadaniem drugim
Potentegowałeś coś ze wzorem na różnicę katów w tangensie
\(\displaystyle{ \tg (\alpha -\beta)=\frac{\tg - \tg \beta}{1+\tg \tg \beta}}\)

Wówczas:
\(\displaystyle{ \tg (45^{0} -30^{0})=\frac{\tg 45^{0} - \tg 30^{0}}{1+\tg 45^{0} \tg 30^{0}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}}\), a to: \(\displaystyle{ 2-\sqrt{3}}\)
Ostatnio zmieniony 7 gru 2008, o 15:52 przez Poodzian, łącznie zmieniany 2 razy.

vitar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wnętrza ziemi
Podziękował: 16 razy

Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Post autor: vitar » 7 gru 2008, o 15:48

a no tak, rzecz jasna, z pośpiechu lekko przekręciłem wzór
Wówczas:
\(\displaystyle{ \tg (45^{0} -30^{0})=\frac{\tg 45^{0} - \tg 30^{0}}{1+\tg 45^{0} \tg 30^{0}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}}\), a to: \(\displaystyle{ 2-\sqrt{3}}\)
a to nie odwracamy tego przy dzieleniu ??

\(\displaystyle{ (1- \frac{ \sqrt{3} }{3}) (1+ \frac{3}{ \sqrt{3} })}\)

A jak się ma sprawa z
cos22*30 (cosinus 22 stopnie i 30 minut)
tego rozumiem podstawowymi wzorami nie idzie wyliczyć

Awatar użytkownika
Poodzian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 62 razy

Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Post autor: Poodzian » 7 gru 2008, o 17:18

vitar pisze:A to nie odwracamy tego przy dzieleniu?
\(\displaystyle{ (1- \frac{ \sqrt{3} }{3}) (1+ \frac{3}{ \sqrt{3} })}\)
Owszem, odwracamy
Tą drogą również można dojść do ostatecznego wyniku

vitar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 7 gru 2008, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wnętrza ziemi
Podziękował: 16 razy

Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Post autor: vitar » 7 gru 2008, o 18:34

no jakoś nie mogę dojść do takiego rozwiązania, jakie tobie wyszło,

bez odwrócenia wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , a po odwróceniu \(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt{3} } - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

Awatar użytkownika
Poodzian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 62 razy

Obliczanie wartości dla sin,cos... (sumy i różnicy kątów)

Post autor: Poodzian » 7 gru 2008, o 22:41

Ja robiłem to w ten sposób
\(\displaystyle{ \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{3}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}}\)
Teraz dopiero odwracam
\(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{3+\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}\)
I teraz pozostaje usunięcie niewymierności z mianownika, zatem:
\(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}}\)

Przyznam się, że nie próbowałem dojść do tego samego Twoim sposobem
Na pierwszy rzut oka wydał się on OK, ale teraz, po przejrzeniu go na spokojnie, widzę, że odwrotnością \(\displaystyle{ 1+\frac{\sqrt{3}}{3}}}\) wcale nie jest \(\displaystyle{ 1+\frac{3}{\sqrt{3}}}\)
Najlepiej jest najpierw połączyć wszystko w jeden ułamek, dopiero potem wymnażać przed krzyże, odwracać lub czarować innymi sposobami... Tak bezpieczniej

ODPOWIEDZ