Matematyka.pl

Sprawdzić, czy podane szeregi są zbieżne:
1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \sqrt{n}sin^2 \frac{1}{n}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } (sin \frac{1}{n}cos^2 \frac{1}{n})}\)

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{a^{logn}}}\)

4. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{3^{ \sqrt{n} }}}\)

Dziękuję za pomoc:):)

1) Zbieżny, ponieważ:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} sin^{2} \frac{1}{n} < \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}\)
2) Rozbieżny, zastosuj kryterium ilorazowe z szeregiem harmonicznym.
3) Zależnie od a. Mamy bowiem:
\(\displaystyle{ a^{logn} = 10^{loga \cdot logn} = n^{loga}}\)
Dla a>10 zbieżny, dla reszty rozbieżny.
4) Zbieżny na mocy kryterium Raabego (o ile się nie pomyliłem).