udowodnij nierówność

[darekk123456]

Nie wiem czy to dobry dział ale mam udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{cd}{ab} + \frac{da}{bc} + \frac{ab}{cd} + \frac{bc}{da} \geqslant 4}\)

dla a,b,c,d>0

wydaje mi się że mozna to rozwiązać jedynie poprzez indukcję.

[MagdaW]

Najłatwiej podstawić:
\(\displaystyle{ ab=k

bc=l

cd=m

ad=n}\)

Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{k}{l}+ \frac{l}{k}+ \frac{m}{n}+ \frac{n}{m} qslant 2+2=4}\)
Łatwa do udowodnienia jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{k}{l}+ \frac{l}{k} qslant 2}\)

[michalo2882]

Co za zbieg okoliczności, że akurat moja nauczycielka zadała nam to samo zadanie

A co do rozwiązania MagdyW to mam wątpliwości. Ja to zrobiłem trochę inaczej:

Wykorzystałem nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ A_{n} qslant G_{n}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{cd}{ab} + \frac{da}{bc} + \frac{ab}{cd} + \frac{bc}{da} }{4} qslant \sqrt[4]{\frac{cd}{ab} \frac{da}{bc} \frac{ab}{cd} \frac{bc}{da}}}\)

Obustronnie mnożymy przez 4

\(\displaystyle{ \frac{cd}{ab} + \frac{da}{bc} + \frac{ab}{cd} + \frac{bc}{da} qslant 4 \sqrt[4]{ \frac{a ^{2}b ^{2}c ^{2}d ^{2}}{a ^{2}b ^{2}c ^{2}d ^{2}} }}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \frac{cd}{ab} + \frac{da}{bc} + \frac{ab}{cd} + \frac{bc}{da} qslant 4}\)