Warunek Lipschiza...

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
gery4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 5 paź 2007, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z daleka

Warunek Lipschiza...

Post autor: gery4 » 7 gru 2008, o 12:25

Niech \(\displaystyle{ f:R R}\) spełnia warunek Lipschiza \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| < L * |x-y|}\)ze stałą L=1. Wykaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ x R}\),że \(\displaystyle{ f(x)=x}\)

bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2484
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 248 razy

Warunek Lipschiza...

Post autor: bedbet » 7 gru 2008, o 20:17

Twierdzenie podane przez Ciebie jest fałszywe. Rozważmy funkcje sinus:

\(\displaystyle{ |\sin x-\sin y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\right|\leqslant 2\left|\sin\frac{x-y}{2}\right|\leqslant 2\left|\frac{x-y}{2}\right|=|x-y|}\)

Zatem funkcja sinus spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L=1}\), ale nie istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), że zachodzi równość:

\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

(funkcja sinus nie jest nigdzie liniowa)

Zatem podaliśmy kontrprzykład, dla którego podane przez Ciebie tw. nie zachodzi.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Warunek Lipschiza...

Post autor: Lorek » 7 gru 2008, o 23:23

bedbet pisze:Rozważmy funkcje sinus:
He? A mi się wydawało, że \(\displaystyle{ \sin 0=0}\), co, to nie pasuje?

bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2484
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 248 razy

Warunek Lipschiza...

Post autor: bedbet » 10 gru 2008, o 17:24

W tym twierdzeniu powinno być napisane, że istnieje dokładnie jeden taki \(\displaystyle{ x}\), że...
To jest jedna z wersji tw. Banacha o punkcie stałym, jeżeli założyć, że istnieje dokładnie jeden taki \(\displaystyle{ x}\). W przeciwnym razie tw. jest fałszywe.

kaktus28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 31 paź 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Warunek Lipschiza...

Post autor: kaktus28 » 11 lis 2011, o 17:02

bedbet pisze:Twierdzenie podane przez Ciebie jest fałszywe. Rozważmy funkcje sinus:

\(\displaystyle{ |\sin x-\sin y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\right|\leqslant 2\left|\sin\frac{x-y}{2}\right|\leqslant 2\left|\frac{x-y}{2}\right|=|x-y|}\)

Zatem funkcja sinus spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L=1}\), ale nie istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), że zachodzi równość:

\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

(funkcja sinus nie jest nigdzie liniowa)

Zatem podaliśmy kontrprzykład, dla którego podane przez Ciebie tw. nie zachodzi.
Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć skąd się wizełą prawa strona nierówności??

miodzio1988

Warunek Lipschiza...

Post autor: miodzio1988 » 11 lis 2011, o 17:04

kaktus28, który krok konkretnie jest niejasny?

kaktus28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 31 paź 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Warunek Lipschiza...

Post autor: kaktus28 » 12 lis 2011, o 17:51

Od pierwszego znaku nierówności

miodzio1988

Warunek Lipschiza...

Post autor: miodzio1988 » 12 lis 2011, o 17:53

Wzór na roznice sinusow

kaktus28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 31 paź 2011, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Warunek Lipschiza...

Post autor: kaktus28 » 13 lis 2011, o 16:17

To przekształcenie jeszcze wiem potem jest znak nierówności i dalej nie wiem skąd to się bierze

ODPOWIEDZ