Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
arekklimkiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 19 wrz 2008, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 21 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: arekklimkiewicz » 6 gru 2008, o 22:36

Bardzo proszę o sprawdzenie zadania:

Treść Zad:
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 5 - 2sin^{2}x + cosx}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f(x) = - 2sin^{2}x + cosx + 5}\)
\(\displaystyle{ f(x) = - 2(1 - cos^{2}x) + cosx + 5}\)
\(\displaystyle{ f(x) = - 2 + 2cos^{2}x + cosx + 5}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 2cos^{2}x + cosx + 3}\)

równanie funkcji f(x) sprowadza się do równania funkcji kwadratowej.
a = 2 - współczynnik kierunkowy jest > 0, więc ramiona paraboli funkcji skierowane będą do góry .

Wyliczam współrzędną Y wierzchołka paraboli, aby określić zbiór wartości funkcji:
delta: po wyliczeniu = -23

\(\displaystyle{ \frac{-delta}{4a}}\) = \(\displaystyle{ \frac{23}{8}}\)

Zbiór wartości funkcji f(x): \(\displaystyle{ }\)

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16293
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: anna_ » 7 gru 2008, o 00:16


Maksymalna wartość funkcji cosinus to 1, a minimalna to -1
No i wykres nie będzie parabolą.

arekklimkiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 19 wrz 2008, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 21 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: arekklimkiewicz » 7 gru 2008, o 12:12

A skąd wziął się ten rysunek?
Mógłby mi ktoś to wytłumaczyć ?
NIECH MI TO KTOŚ W KOŃCU WYTŁUMACZY !!!!!! PROSZĘĘĘĘ

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16293
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: anna_ » 7 gru 2008, o 15:07

Wykres zrobił mi program.

Wydaje mi się, że tu trzeba skorzystać z pochodnych.

\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)

\(\displaystyle{ f''(x _{0} )>0}\) - minimum
\(\displaystyle{ f''(x _{0} )}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: soku11 » 7 gru 2008, o 15:30

W tej postaci nie masz jeszcze rownania kwadratowego. Trzeba podstawic zmienna pomocnicza:
\(\displaystyle{ f(x) = 2\cos^2 x + \cos x + 3\\
\cos x=t,\;\;\; t\in[-1;1]\\
f(t)=2t^2+t+3,\;\;\;t\in[-1;1]\\
x_w=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{4}\;\in\mathbb{D}\\
y_w=f\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{23}{8}\\
f(-1)=2-1+3=4\\
f(1)=2+1+3=6\\
f_{min}=f(x_w)=y_w=\frac{23}{8}\\
f_{max}=f(1)=6\\
Y_{f}=\left[\frac{23}{8};6\right]}\)


Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 7 gru 2008, o 15:44 przez soku11, łącznie zmieniany 2 razy.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16293
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: anna_ » 7 gru 2008, o 15:30

\(\displaystyle{ f'(x)=sinx(4cosx+1)=0}\)

\(\displaystyle{ sin x=0 \ \ lub \ \ 4cosx+1=0}\)

\(\displaystyle{ x=0 \ \ lub\ \ x=arccos(- \frac{1}{4} )}\)

\(\displaystyle{ x=0 \ \ - maksimum}\)

\(\displaystyle{ x=arccos(- \frac{1}{4} ) \ -minimum}\)
\(\displaystyle{ f(0)=2cos ^{2} 0 } +cos0+3=2 1 ^{2} +1+3=6}\)
\(\displaystyle{ f(- \frac{1}{4} )=2cos ^{2} [arccos(- \frac{1}{4})]+cos[arccos( -\frac{1}{4}] )+3 = 2( -\frac{1}{4} ) ^{2} +(- \frac{1}{4}) +3= \frac{1}{8}- \frac{1}{4}+3= 2 \frac{7}{8}}\)
\(\displaystyle{ f(x) [2 \frac{7}{8} ;6]}\)

[ Dodano: 7 Grudnia 2008, 15:33 ]
soku11 pisze: \(\displaystyle{ Y_{f}=\left[-\frac{23}{8};6\right]}\)
Ale wykres leży całkowicie nad osią, więc funkcja nie może przyjmować wartości ujemnych
Ostatnio zmieniony 7 gru 2008, o 15:47 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Zbiór wartości funkcji (trygonometria)

Post autor: soku11 » 7 gru 2008, o 15:46

Juz poprawilem Teraz jest ok. Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ