wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
dziczka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 14 lip 2008, o 09:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 82 razy

wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Post autor: dziczka » 6 gru 2008, o 21:37

Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax+b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=0}\).

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Post autor: Crizz » 6 gru 2008, o 22:27

Skorzystamy z twierdzenia: jeśli liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest też pierwiastkiem pochodnej tego wielomianu.

Na mocy tego twierdzenia możemy stwierdzić, że rozważany pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ W'(x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ 3x^{2}+a=0}\), skąd \(\displaystyle{ x=\sqrt{-\frac{a}{3}}}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ W(x_{0})=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ (\sqrt{-\frac{a}{3}})^{3}+a(\sqrt{-\frac{a}{3}})+b=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}=-b}\)
Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy żądaną równość, c.k.d.

[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 22:33 ]
Dowód użytego twierdzenia:
Skoro liczba a jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu Q, to Q jest postaci \(\displaystyle{ Q(x)=(x-a)^{2} R(x)}\) gdzie R jest pewnym wielomianem. Stąd:
\(\displaystyle{ Q'(x)=(x-a)^{2} R'(x) + ((x-a)^{2})' R(x)}\)
\(\displaystyle{ Q'(x)=(x-a)^{2} R'(x) + 2(x-a) R(x)}\)
\(\displaystyle{ Q'(a)=0}\), c.k.d.

dziczka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 14 lip 2008, o 09:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 82 razy

wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Post autor: dziczka » 10 gru 2008, o 22:01

wszystko fajnie tylko po podniesieniu do kwadratu nie otrzymujemy tej samej równości co w treści zadania

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Post autor: » 11 gru 2008, o 02:19

dziczka pisze:wszystko fajnie tylko po podniesieniu do kwadratu nie otrzymujemy tej samej równości co w treści zadania
Ależ owszem, otrzymamy, z tym, że wcześniej powinno być \(\displaystyle{ x= \sqrt{-\frac{a}{3}}}\), więc ta równość powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \pm \frac{2}{3} a \sqrt{-\frac{a}{3}}= -b}\)
Ale po podniesieniu do kwadratu oczywiście ów znak przestaje być istotny.

Q.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Post autor: Crizz » 11 gru 2008, o 19:16

Fakt, nie wiem czemu wydawało mi się, że to jest równanie 3. stopnia . Dzięki, .

dziczka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 14 lip 2008, o 09:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 82 razy

wykaż, że wielomian ma pierwiastek dwukrotny

Post autor: dziczka » 14 gru 2008, o 21:44

rzeczywiście Dzięki

ODPOWIEDZ