[teoria miary] funkcja addtywna, miara

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

[teoria miary] funkcja addtywna, miara

Post autor: Hania_87 » 6 gru 2008, o 20:46

zad. 1
a) \(\displaystyle{ (X, \textgoth{m}, \mu )}\) to \(\displaystyle{ \forall_{ A,B \textgoth{m}} \mu (A \cup B)+ \mu (A \cap B)= \mu (A)+ \mu (B)}\)
b) \(\displaystyle{ A, B \textgoth{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0}\), to \(\displaystyle{ \mu (A \cup B)= \mu (A /B)= \mu (A)}\)

zad. 2
a) \(\displaystyle{ \forall_{A \mathbb{N}} \mu (A) = \begin{cases} 0 \ , A \ \jest \ \ skonczony\\ + \ , A \ \jest \ \ nieskonczony\end{cases}}\)
Wykazac, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest addytywnąfunkcją zbioru, ale nie jest miary na \(\displaystyle{ P( \mathbb{N})}\)
b)Wykaza, że jeśli \(\displaystyle{ A_1, ..., A_k \textgoth{m}}\) i są rozłączne, to \(\displaystyle{ \mu (A_1 \cup ... \cup A_k)= \mu (A_1) \cup ... \cup \mu (A_k)}\)

zad. 3
\(\displaystyle{ \mathbb{R} , P( \mathbb{R} ), A \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \mu (A)= \begin{cases} 0 \ \ , A-przeliczlne \\ \ \ , A-nieprzeliczalny \end{cases}}\)
Wykazac, ze \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą

[ Dodano: 9 Grudnia 2008, 21:22 ]
zadanie 1 b)
rozbiłabym to na dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ A,B \textgoth{m}$ i $ \mu (B)=0 \mu (A \cup B)= \mu (A)}\)
2) \(\displaystyle{ A,B \textgoth{m}$ i $ \mu (B)=0 \mu (A \backslash B)= \mu (A)}\)

Ad. 1 ust. \(\displaystyle{ A,B \textgoth{m} \ \ , \ \mu (B)=0}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B)= A \cup (B \backslash A)}\) to są zbiory mierzalne
\(\displaystyle{ A, B \backslash A \textgoth{m}}\) rozłączne
\(\displaystyle{ \mu (A \cup B)= \mu ( A \cup (B \backslash A)) \stackrel{addytywna \ \ funkcja \ \ zioru}{=} \mu (A)+ \mu(B \backslash A) \stackrel{B \backslash A B}{=} \mu (A)+0= \mu (A)}\)

Ad. 2 ust. \(\displaystyle{ A,B \textgoth{m} \ \ , \ \mu (B)=0}\)
\(\displaystyle{ A=(A \backslash B) \cup (A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ A \backslash B , A \cap B \textgoth{m}}\) rozłaczne
zatem, \(\displaystyle{ \mu (A)= \mu((A \backslash B) \cup (A \cap B))= \mu (A \backslash B)+ \mu (A \cap B) \stackrel{A \cap B B}{=} \mu (A \backslash B)+0=(A \backslash B)}\)


A jak zrobić zadanie 2 i 3

ODPOWIEDZ