zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
dav45
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 lis 2008, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wlkp

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: dav45 » 6 gru 2008, o 16:46

Należy skonstruować pojemnik o pojemności V w kształcie walca zwieńczonego półkulą. Jakie wymiary pozwolą zużyć najmniejszą ilość materiału?

Może ktoś mi pomóć się odnajeść w tym zadaniu? wiem że trzeba obliczyć pochodną i jej miejsce zerowe ale chybacoś sknociłem bo mi pochodna wyszła 0.

Awatar użytkownika
escargot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 477
Rejestracja: 30 paź 2007, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°N, 21°E
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 143 razy

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: escargot » 6 gru 2008, o 18:15

zacznij od napisania wzoru na objetość danej bryły, z niego wylicz H- wysokośc walca i wstaw do wzoru na pole powierzchni tej bryły, otrzymasz funkcje zmiennej R i dopiero teraz możesz zacząć różniczkować...

\(\displaystyle{ f(R)=\frac{5\pi R^2}{3}+\frac{2V}{R}}\)

\(\displaystyle{ f'(R)=\frac{10\pi R}{3}-\frac{2V}{R^2}}\)

\(\displaystyle{ f'(R)=0}\) dla \(\displaystyle{ R=\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi }}}\) i pochodna zmienia znzk z minusa na plus więc funkcja osiąga dla tego argumentu minimum

znalazłem błą w rachunkach
Ostatnio zmieniony 6 gru 2008, o 20:11 przez escargot, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 18:39

\(\displaystyle{ V= \pi r^{2}h+ \frac{4}{6} \pi r^{3}= \pi r^{2}(h+ \frac{4}{6} r) \\ P=2 \pi rh+ \pi r^{2}+2 \pi r^{2}=2 \pi r h+3 \pi r^{2} \\ \frac{V}{\pi r^{2}}=h+ \frac{4}{6}r\ \ h= \frac{V}{\pi r^{2}}- \frac{4}{6}r \\ P(r)=2 \pi r( \frac{V}{\pi r^{2}}- \frac{4}{6} r)+3 \pi r^{2}= \frac{2V}{r}+1 \frac{3}{4}r^{2} \pi \\ P'(x)=(2Vr^{-1}+ \frac{7}{4} \pi r^{2})'= \frac{-2V}{r^{2}}+ \frac{7}{2} \pi r \\ \frac{-2V}{r^{2}}+ \frac{7}{2} \pi r=0\ \ r^{3}= \frac{4V}{7 \pi} \ \ r= \sqrt[3]{ \frac{4V}{7 \pi} } \\ Wyznaczamy\ h: \\ h= \frac{V}{\pi \sqrt[3]{ \frac{16V^{2}}{49 \pi ^{2}} } }- \frac{4}{6} \sqrt[3]{ \frac{4V}{7 \pi} }= \frac{1}{2 \sqrt[3]{ \frac{2V}{49 \pi ^{5}} } }- \frac{2}{3} \sqrt[3]{ \frac{4V}{7 \pi} }}\)

dav45
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 lis 2008, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wlkp

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: dav45 » 7 gru 2008, o 18:45

czy tam nie ma czasami błędu mi się wydaje że powinno być P(r)=\(\displaystyle{ \frac{2v}{r} \frac{5II r^{2} }{3}}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: miki999 » 7 gru 2008, o 19:28

Nie wiem, może jakiś błąd przypadkiem walnąłem jednak escargot otrzymał identyczną odp. jak ja, co raczej minimalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia błędu na tamtym etapie obliczeń.

dav45
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 22 lis 2008, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wlkp

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: dav45 » 7 gru 2008, o 21:08

ale wam wyszły różne wyniki

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

zadanie optymalizacyjne -pojemnik

Post autor: miki999 » 7 gru 2008, o 21:22

Aha, rzeczywiście

Jeżeli ktoś tu zrobił błąd to raczej ja, no cóż zdarza się. Zatem musisz trochę się pobawić. W każdym razie znasz metodę- powinieneś sobie poradzić.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ