Nierówność podwójna.

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
FEMO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 348
Rejestracja: 13 lut 2007, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 163 razy

Nierówność podwójna.

Post autor: FEMO » 6 gru 2008, o 13:55

Udowodnij nierówności

\(\displaystyle{ n^{\frac{n}{2}}}\)
Ostatnio zmieniony 7 gru 2008, o 14:51 przez FEMO, łącznie zmieniany 1 raz.

aga92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 324
Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 121 razy

Nierówność podwójna.

Post autor: aga92 » 6 gru 2008, o 17:47

Tutaj nie trzeba korzystać z indukcji:
\(\displaystyle{ (n!) ^{2} = (1*2*...*n) * (n*...*2*1) = (1*n) * (2*(n-1)) * ... * (n*1) \geqslant n*n*...*n = n^{n}}\)
\(\displaystyle{ (n!)^{2} \geqslant n^{n}}\)
\(\displaystyle{ n! \geqslant n^{\frac{n}{2}}}\)


Z nierówności pomiędzy średnimi:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n} \leqslant \frac{1+2+...+n}{n}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} \leqslant \frac{(1+n) \cdot n}{2n}}\)
\(\displaystyle{ n! \leqslant ( \frac{n+1}{2})^{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ n>2}\) nierówności te są ostre.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26928
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Nierówność podwójna.

Post autor: Jan Kraszewski » 6 gru 2008, o 18:37

Tak na marginesie - w obu rozumowaniach jest użyta indukcja, choć w sposób niejawny...

Choć oczywiście ze szkolnego punktu widzenia są to dowody "bez indukcji".

JK

FEMO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 348
Rejestracja: 13 lut 2007, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 163 razy

Nierówność podwójna.

Post autor: FEMO » 6 gru 2008, o 20:30

a za pomocą indukcji też dało by się? bo jednak zadanie jest na szkolną indukcje

ODPOWIEDZ