nierówność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
marty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 296
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 33 razy

nierówność

Post autor: marty » 6 gru 2008, o 10:20

Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a^{2i} q (n+1)a^n - 1}\)

proszę o pomoc

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

nierówność

Post autor: Justka » 6 gru 2008, o 11:56

Przekształcamy nierówność do postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a^{2i} +1 qslant (n+1)a^n}\)
I z nierówności pomiędzy średnimi mamy:
\(\displaystyle{ L=1+\sum_{i=1}^{n}a^{2i}=1+a^2+a^4+...+a^{2n} qslant (n+1)\sqrt[n+1]{1\cdot a^2\cdot a^4\cdot ... a^{2n}}=\sqrt[n+1]{a^{(n+1)n}}=(n+1)|a^n| qslant (n+1)a^n=P}\)

marty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 296
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 33 razy

nierówność

Post autor: marty » 6 gru 2008, o 17:27

tam gdzie masz drugi pierwiastek-skąd Ci się coś takiego wzięło?
mogłabyś opisać coś więcej?

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

nierówność

Post autor: Justka » 6 gru 2008, o 18:25

Mnożąc potęgi o tych samych podstawach wykładniki dodajemy, zatem
\(\displaystyle{ 1\cdot a^2\cdot a^4\cdot a^6\cdot ... a^{2n}=a^{0+2+4+6+...+2n}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ 0+2+4+6+...+2n}\) to ciąg arytmetyczny to suma tego ciągu jest równa \(\displaystyle{ S=\frac{0+2n}{2}(n+1)=(n+1)n}\), stąd \(\displaystyle{ a^{0+2+4+...+2n}=a^{n(n+1)}}\)

Następnie skorzystałam z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x^n}=x}\)

ODPOWIEDZ