oblicz granice

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
wikuszka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 9 sty 2007, o 10:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 3 razy

oblicz granice

Post autor: wikuszka » 5 gru 2008, o 19:30

Oblicz granice ciągów o wyrazach ogólnych:

\(\displaystyle{ d _{n} = \frac{5 ^{n} n! }{n ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ f_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n ^{2}+k }}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

oblicz granice

Post autor: Lorek » 5 gru 2008, o 21:08

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{d_n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{5^n\cdot n!}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}5\cdot\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{5}{e}>1\Rightarrow \lim_{n\to\infty}d_n=\infty}\)

wikuszka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 9 sty 2007, o 10:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 3 razy

oblicz granice

Post autor: wikuszka » 6 gru 2008, o 21:14

czy możesz mi wytłumaczyć co to za własność? Skąd e w mianowniku? czy mogę tak po prostu użyć pierwiastka? Nic nie rozumiem z twojego zapisu.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

oblicz granice

Post autor: Lorek » 6 gru 2008, o 21:21

To jest kryterium Cauchy'ego 'dostosowane' do ciągów ;)
Mniej więcej coś podobne do tego http://matematyka.pl/28451.htm z tym że zamiast szeregów masz granice.

A to że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{e}}\) to też na kilka sposobów można udowodnić, ogólnie granica, którą warto znać.

wikuszka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 9 sty 2007, o 10:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 3 razy

oblicz granice

Post autor: wikuszka » 6 gru 2008, o 21:51

W takim razie muszę wierzyć na słowo. Dziękuję Jedno ale: to nie są szeregi(!). Czy mogę do tych ciągów zastosować kryt. Cauchyego?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

oblicz granice

Post autor: Lorek » 7 gru 2008, o 12:21

No przecie napisałem, że to jest coś podobnego a nie to samo, a stosować można. Bo żeby wsio ładnie wyglądało możnaby np. zrobić tak
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}d_n=\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{d_n})^n \left[\left(\frac{5}{e}\right)^\infty\right]=\infty}\)
z tym że do tego też można mieć ale i to większe niż do Cauchy'ego ;)

ODPOWIEDZ