Układ równań , macierz prostokątna - tw. K-C

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ŚwIeRsZcZ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 232
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 1 raz

Układ równań , macierz prostokątna - tw. K-C

Post autor: ŚwIeRsZcZ » 5 gru 2008, o 12:46

Witam ! Nie wiem jak rozwiązać takie równanie ? W przypadku macierzy kwadratowych sprawa była prosta - liczyłem wyznacznik macierzy A i następnie rozpatrywałem przypadki korzystając z twierdzenia Kroneckera-capelliego , co zrobić w takim przypadku ? Na lekcji miałem pojęcie "minora" , czy tutaj właśnie trzeba skorzystać z tego ?? Dziękuję za wyjaśnienie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x - y - z + t = 0\\ x + y + z - t = 0\\ x + y - z + t = 0\end{cases}}\)

zapisuję macierz A:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&-1&1\\1&1&1&-1\\1&1&-1&1\end{array}\right]}\)

I co dalej ?

agulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3090
Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 879 razy

Układ równań , macierz prostokątna - tw. K-C

Post autor: agulka1987 » 5 gru 2008, o 14:16

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-1&1\left|0\\1&1&1&-1\left|0\\1&1&-1&1\left|0\end{bmatrix} \stackrel{w2 i w3 + w1 (-1)}{ }\begin{bmatrix}1&-1&-1&1\left|0\\0&2&2&-2\left|0\\0&2&0&0\left|0\end{bmatrix} \stackrel{w2 i w3 \frac{1}{2} }{ }\begin{bmatrix}1&-1&-1&1\left|0\\0&1&1&-1\left|0\\0&1&0&0\left|0\end{bmatrix} \stackrel{w1 + w2 i w3 + w2\cdot (-1) }{ }\begin{bmatrix}1&0&0&0\left|0\\0&1&1&-1\left|0\\0&0&-1&1\left|0\end{bmatrix}\stackrel{w2 + w3 }{ }\begin{bmatrix}1&0&0&0\left|0\\0&1&0&0\left|0\\0&0&-1&1\left|0\end{bmatrix}\stackrel{w3 (-1) }{ }\begin{bmatrix}1&0&0&0\left|0\\0&1&0&0\left|0\\0&0&1&-1\left|0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x =0\\y=0\\ z-t=0 z=t\end{cases}}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Układ równań , macierz prostokątna - tw. K-C

Post autor: miki999 » 5 gru 2008, o 14:26

Badamy rząd macierzy współczynników oraz rząd macierzy uzupełnionej.

Macierz ma wymiary 3x4, zatem rząd tej macierzy wynosi co najwyżej 3. Bierzemy minor o wymiarach 3x3 macierzy i liczymy jego wyznacznik (np. 3 pierwsze kolumny). Jest on różny od 0, zatem rząd tej macierzy wynosi 3. Gdyby wynosił on 0 trzeba by było sprawdzić inne kombinacje.

Rząd macierzy współczynników wynosi 3. Rząd macierzy uzupełnionej również wynosi 3, ponieważ zawiera ten sam minor.

Na mocy naszego twierdzenia układ jest rozwiązywalny.

Rozwiązanie tego układu jest dosyć proste. Wystarczy od 1. wiersza odjąć 3, co od razu da nam y=0, następnie do 2. wiersza dodajemy 3 i mamy x=0. Rozpatrując nasze ostatnie równanie widzimy, że z=t, gdzie t jest parametrem.

ŚwIeRsZcZ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 232
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 1 raz

Układ równań , macierz prostokątna - tw. K-C

Post autor: ŚwIeRsZcZ » 5 gru 2008, o 17:52

Dziękuję bardzo.

ODPOWIEDZ