zb. borelowskie, sigma-ciało

[Hania_87]

zad. 1
\(\displaystyle{ \mathcal{B}(X)}\)-rodzina zbiorów Borelowskich
\(\displaystyle{ (X, \tau )}\)-przestrzeń topologiczna
a) \(\displaystyle{ \mathcal{B}(X) = \sigma ( \tau)}\)-zb. otwarty
Wykazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}(X)= \sigma ( \mathcal{F})}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{F}= \{F \subset X: F}\)-domkniene \(\displaystyle{ \}}\),
( \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) -rodzina zbiorów domknientych)
b) Zbiory typu \(\displaystyle{ F_{ \sigma}}\) i \(\displaystyle{ G_{ \sigma}}\) należą do \(\displaystyle{ \mathcal{B}(X)}\)

zad. 2
\(\displaystyle{ \sigma ( \mathcal{R}) = \textgoth{m}_{ \mathcal{R}}}\) ciało generowane przez rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\)
Wykazać, że operację \(\displaystyle{ \sigma}\) ma własności:
a) \(\displaystyle{ \forall_{ \textgoth{m}} ( \textgoth{m}- \sigma}\) cialo w \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subset \textgoth{m} \Rightarrow \sigma ( \mathcal{A} \subset
\textgoth{m} )}\)
(w X tzn. podzbiór zbioru X)
b) \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subset \mathcal{B} \Rightarrow \sigma ( \mathcal{A}) \subset ( \sigma ( \mathcal{B})}\)
c) \(\displaystyle{ \sigma ( \sigma ( \mathcal{A}) ) = \sigma ( \mathcal{A})}\)

P.S. Nie wiedziałam do którego dać działu mój temat i w związku z tym, ze robimy teorie miary na analizie, więc dałam ją do analizy