Podzielność przez 240

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Podzielność przez 240

Post autor: szymek12 » 3 gru 2008, o 21:33

Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ a-1}\) oraz \(\displaystyle{ a+1}\) są liczbami pierwszymi większymi od \(\displaystyle{ 10}\), to liczba \(\displaystyle{ a ^{3}-4a}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 240}\).

MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

Podzielność przez 240

Post autor: MagdaW » 5 gru 2008, o 13:11

\(\displaystyle{ 240=2 ^{4} 3 5}\)

\(\displaystyle{ a ^{2}(a-2)(a+2)}\)

Skoro liczby a-1 i a+1 są piewrsze, to a jest parzysta, zatem iloczyn jest postaci :\(\displaystyle{ 2 ^{4}k(k-1)(k+1)}\), od razu widać, że jest również podzielny przez 3 jako iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z tego, że liczby a+1 i a-1 są pierwsze wynika, że a=5l+2 lub a=5l-2. Otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ a ^{2}(a+2)(a-2)=a ^{2}5l(5l+4) ...=a ^{2}5l(5l-4)}\)

c.n.d.

ODPOWIEDZ