Iloczyn liczb pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: szymek12 » 3 gru 2008, o 21:25

Dowieść, że każda liczba naturalna jest równa \(\displaystyle{ 1}\), albo jest liczbą pierwszą, albo jest iloczynem liczb pierwszych.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: max » 10 gru 2008, o 18:49

To jedna z części zasadniczego tw arytmetyki, dowód można znaleźć w wielu książkach wprowadzających do elementarnej teorii liczb, ale napiszę.

Dowód będzie indukcyjny.
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) teza jest prawdziwa, dla \(\displaystyle{ n = 2}\) również, bo \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą.
Załóżmy teraz, że dla ustalonego \(\displaystyle{ n\geqslant 2, \ n\in \mathbb{N}}\) każda liczba \(\displaystyle{ 2\leqslant k< n}\) przedstawia się jako iloczyn liczb pierwszych, bądź jest liczbą pierwszą.
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą to ok.
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą złożoną, to ma jakiś dzielnik \(\displaystyle{ a\in \mathbb{N}}\) taki, że \(\displaystyle{ 2\leqslant a < n}\), czyli istnieje \(\displaystyle{ b \mathbb{N}, \ 2\leqslant b < n}\) takie, że \(\displaystyle{ n = ab}\). Ale z założenia indukcyjnego każda z liczb \(\displaystyle{ a, b}\) jest pierwsza, bądź przedstawia się jako iloczyn liczb pierwszych, więc ich iloczyn przedstawia się jako iloczyn liczb pierwszych.

ODPOWIEDZ