a) Sinus szukanego kąta jest równy stosunkowi wysokości H ostrosłupa do wysokości h ściany bocznej.
Ponieważ wysokość podstawy ostrosłupa wynosi
\(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\), to łatwo policzymy długość
\(\displaystyle{ a}\) krawędzi podstawy:
\(\displaystyle{ a=8}\). Zatem krawędź boczna ostrosłupa ma długość
\(\displaystyle{ 2a=16}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ 16^2=H^2+(\frac{8\sqrt{3}}{3})^2}\), czyli
\(\displaystyle{ H=8\sqrt{11}}\). Dalej, znów z twierdzenia Pitagorasa dostajemy
\(\displaystyle{ h^2=H^2+(\frac{8}{2})^2=720}\), więc
\(\displaystyle{ h=12\sqrt{5}}\). Zatem
\(\displaystyle{ \frac{H}{h}=\frac{2\sqrt{55}}{15}}\).
b) Ściany boczne danego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi. Obliczmy długość c wysokości takiego trójkąta poprowadzonej do ramienia (krawędzi bocznej równej 16). Wyznaczmy najpierw długość d wysokości tego trójkąta opuszczonej do krawędzi podstawy ostrosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ 16^2=d^2+(\frac{8}{2})^2}\), więc
\(\displaystyle{ d=4\sqrt{15}}\). Stąd i ze wzoru na pole trójkąta możemy wyrazić pole ściany bocznej ostrosłupa na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ \frac{8\cdot d}{2}=\frac{16\cdot c}{2}}\),
skąd wynika, że
\(\displaystyle{ c=\frac{d}{2}=2\sqrt{15}}\).
Szukany kąt
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między ramionami w trójkącie o bokach c, c, a. Zatem z twierdzenia kosinusów mamy
\(\displaystyle{ 8^2=2c^2(1-\cos\alpha)}\), więc
\(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}}\).
Pozdrawiam