Matematyka.pl

\(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2})^{2} qslant (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\) (gdzie a, b, c sa dodatnie)
Probowalem robic tak: c).
Dalej:
Srednia arytmetyczna i srednia geometryczna:
\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)+(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)}{4} qslant \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\)
Innymi slowy:
\(\displaystyle{ (\frac{a+b+c}{2} )^{2} qslant (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\)
Teraz sobie podstawiam c=a+b:
\(\displaystyle{ (\frac{a+b+a+b}{2} )^{2} qslant (\frac{a+b+c}{2} )^{2}}\)
Z tego w prostej linii:
\(\displaystyle{ (a+b)^{2} qslant (a^{2}+b^{2})^{2}}\)
Wszystko by bylo pieknie, gdyby to ostatnie byla prawda... Niestety dziala tylko dla liczb wieszych od jeden. Ma ktos jakis pomysl jak to zrobic dla liczb z przedzialu (0,1). Mam wrazenie, ze niewiele brakuje, ale niestety rozwiazanie niekompletne...

Popełniłeś błąd w nierówności średnich: Stopień pierwiastka ma być
taki sam jak ilość liczb,czyli cztery,a nie dwa.Powinno być już dobrze.

Teraz sobie podstawiam c=a+b:

A to z jakiej okazji, oczywiście, że tak nie można, poza tym jak tak podstawisz, to prawa strona Ci się zeruje, a Tobie wyszło co innego. Podpowiedź: musi być a -a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 \\ 2a^4+2b^4+c^4 2b^2c^2+2c^2a^2[/latex]
i z tym coś kombinować