Matematyka.pl

Jesli ktos moglby mi podpowiedziec jak do diabla zrobic ponizszy przyklad

\(\displaystyle{ w(x)=x^{4} +2x^{3} +x^{2} +1}\)

mam to rozlozyc na najprostsze czynniki:

-wiem, ze nie ma miejsc zerowych
-zdaje mi sie ze rozwiazaniem bedzie uklad rownian powstaly w wyniku porownania wspolczynnikow wielomianu w(x) z wielomianem :\(\displaystyle{ (ax^{2} +bx+c)(dx^{2} +ex+f)}\) czyli

dalej mi wyszledl uklad:
\(\displaystyle{ ad=1

ae+bd=2

af+be+cd=1

bf+ce=0

cf=1}\)

ktorego i tak nie potrafie rozwiazac

Z gory dziekuje, jezeli ktos postanowi poswiecic mi chwile czasu na pomoc

Jesteś pewien, że musisz to zrobić?

Przy użyciu liczb zespolonych można rozłożyć to tak:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x)^2 - (-i)^2=(x^2+x-i)(x^2+x+i)}\)
Wiemy, że jeśli jakaś liczba jest pierwiastkiem zespolonym jakieś wielomianu, to jej sprzężenie też jest jego pierwiastkiem, stąd jeśli \(\displaystyle{ z_1,z_2}\) są pierwiastkami pierwszego nawiasu, to ich sprzężenia są pierwiastkami drugiego nawiasu i całość zapisuje się jako:
\(\displaystyle{ (x^2- 2Rez_1+|z_1|^2)(x^2-2Rez_2+|z_2|^2)}\)
co już jest iloczynem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

Sęk tylko w tym, że \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) wychodzą dość koszmarne i jest to bardzo eufemistyczne określenie .

Q.