Napisać sumę częściową szeregu i znaleźć jego granicę
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{n(n+1)}}\)
Zadanie do trudnych pewnie nie należy, nie mam zupełnie pojęcia czego ode mnie oczekują więc prosiłbym nie o wynik (w odpowiedziach napisane stoi S=1) tylko o wyjaśnienie co się dzieje, lub ewentualne skierowanie do lektury czegośtam... Z góry wielkie dzięki.
Sumy częściowe i granica
-
bedbet
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Sumy częściowe i granica
Wzór na \(\displaystyle{ k}\) - tą sumę częściową, gdzie \(\displaystyle{ n\leqslant k \ , \ k,n\in\mathbb{N}}\) wyrażać się będzie wzorem:
\(\displaystyle{ S_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}}\)
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ S_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ S=\lim_{k\to\infty} S_k=\lim_{k\to\infty}1-\frac{1}{k+1}=1}\)
(czyli szereg jest zbieżny, a ponadto jego granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\))
\(\displaystyle{ S_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}}\)
Zatem mamy:
\(\displaystyle{ S_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ S=\lim_{k\to\infty} S_k=\lim_{k\to\infty}1-\frac{1}{k+1}=1}\)
(czyli szereg jest zbieżny, a ponadto jego granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\))