Sumy częściowe i granica

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
vigorr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 gru 2008, o 21:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Sumy częściowe i granica

Post autor: vigorr » 1 gru 2008, o 21:30

Napisać sumę częściową szeregu i znaleźć jego granicę

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{n(n+1)}}\)

Zadanie do trudnych pewnie nie należy, nie mam zupełnie pojęcia czego ode mnie oczekują więc prosiłbym nie o wynik (w odpowiedziach napisane stoi S=1) tylko o wyjaśnienie co się dzieje, lub ewentualne skierowanie do lektury czegośtam... Z góry wielkie dzięki.

bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2484
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 248 razy

Sumy częściowe i granica

Post autor: bedbet » 3 gru 2008, o 02:01

Wzór na \(\displaystyle{ k}\) - tą sumę częściową, gdzie \(\displaystyle{ n\leqslant k \ , \ k,n\in\mathbb{N}}\) wyrażać się będzie wzorem:

\(\displaystyle{ S_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}}\)

Zatem mamy:

\(\displaystyle{ S_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ S=\lim_{k\to\infty} S_k=\lim_{k\to\infty}1-\frac{1}{k+1}=1}\)

(czyli szereg jest zbieżny, a ponadto jego granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\))

ODPOWIEDZ