Udowadnianie stosunku

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Talib*
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 1 gru 2008, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łomża

Udowadnianie stosunku

Post autor: Talib* » 1 gru 2008, o 20:59

Przekątna trapezy równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą i ramieniem trapezu kąty o wspólnym wierzchołku równe odpowiednio 2alfa, 3 alfa. Wykaż, że stosunek długości dłuższej podstawy do długości krótszej podstawy trapezu jest równy k= sin 7alfa / sin 3alfa

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Udowadnianie stosunku

Post autor: anna_ » 2 gru 2008, o 00:04


Z trójkąta AFC
\(\displaystyle{ tg2\alpha= \frac{h}{AF} = \frac{h}{a- \frac{a-b}{2} } = \frac{h}{ \frac{a+b}{2} }}\)
Stąd
\(\displaystyle{ h= \frac{a+b}{2} tg2\alpha}\)
Z trójkąta AED
\(\displaystyle{ tg5\alpha= \frac{h}{AE} = \frac{h}{ \frac{a-b}{2} }}\)
Stąd
\(\displaystyle{ h= \frac{a-b}{2} tg5\alpha}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} tg2\alpha=\frac{a-b}{2} tg5\alpha}\)
Po przekształceniach i zastosowaniu wzorów na sumę i różnicę tangesnów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ asin3\alpha=bsin7\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{sin7\alpha}{sin3\alpha}}\)

ODPOWIEDZ