Zadanie z kulkami i urnami

[Zico]

Witam,
Proszę o pomoc z poniższym zadaniem, nie moge sie polapac, wychodzi mi 5/30 z tym, ze wiem ze jest to zly wynik, a nie moge dojsc do tego gdzie popelniam blad

W każdej z trzech urn znajduje się 5 kul przy czym w pierwszej urnie są 4 kule białe i 1 czarna, w drugiej 3 białe i 2 czarne, w trzeciej 2 białe i 3 czarne. Wykonujemy 3-etapowe doświadczenie:
1.losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne)
2.z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie dorzucamy do tej urny 1 kulę białą i 1 czarną
3.z tej samej urny ciągniemy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia w trzecim etapie kuli białej, jeśli w drugim etapie wyciągnięto 2 kule białe jest równe...?

Z góry dziękuje i pozdrawiam!

Zico

[Alosha]

Podbijam prośbę .
Początkowo uzyskałam także wynik \(\displaystyle{ \frac{5}{30}}\), choć teraz jeszcze raz przeanalizowałam zadanie i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{15}{30}}\).
Będę wdzięczna za pomoc, gdyż nie mam przekonania co do uzyskanego wyniku .


Edit...
Właśnie znalazłam klucz odpowiedzi i moja odpowiedź jest poprawna, tzn. wynik, to \(\displaystyle{ \frac{15}{30}}\).
Nie wiem tylko, czy prawidłowo do niego doszłam... Oto moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ A}\)- wyciągamy kulę białą,
\(\displaystyle{ B_{i}}\) -wyciągamy 2 kule białe z \(\displaystyle{ i-tej}\) urny.

\(\displaystyle{ P(A \left| B)}\)=\(\displaystyle{ P(A \left| B_{1} ) \cdot P(B_{1}) + P(A \left| B_{2} ) \cdot P(B_{2})+ P(A \left| B_{3} ) \cdot P(B_{3})}\) \(\displaystyle{ =
\frac{3}{5} \cdot \frac{6}{10} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{2}}\)


Gdyby ktoś mógł sprawdzić... Będę wdzięczna

[mat_61]

Wg mnie ten sposób obliczeń nie jest poprawny (nie podoba mi się ta suma p-stw, bo przecież nie podzieliliśmy jednego zbioru tych zdarzeń warunkowych na trzy rozłączne podzbiory, tylko losujemy z jednej losowo wybranej urny, co tutaj nie jest w ogóle uwzględnione).
Przy tym sposobie liczenia, ale dla innych danych moglibyśmy otrzymać p-stwo większe od \(\displaystyle{ 1}\). Gdyby przykładowo wszystkie urny miały takie kule jak pierwsza, to tak licząc otrzymalibyśmy \(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{54}{50} \red !?}\)

--------------------------------------------------------

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

\(\displaystyle{ A}\) wylosowano białą kulę za trzecim razem
\(\displaystyle{ B}\) wylosowano dwie białe kule za drugim razem

\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{5}{30}}\) - korzystamy z sumy iloczynów p-stw

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{3}}\) - tutaj podobnie

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{ \frac{5}{30} }{ \frac{1}{3} }= \frac{1}{2}}\)

[Alosha]

Masz całkowitą rację. Na samym początku właśnie tak liczyłam i nie wiem, jakim cudem, ale uzyskałam inny wynik. Cóż... kłania się umiejętność obliczeń.
Dzięki za pomoc!

[pacia1620]

Czy mozecie powiedzieć skąd wychodzi \(\displaystyle{ \frac{5}{30}}\)?? bo te potrzebuje to zadanie )

[mat_61]

\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{3}{5} +\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5}= \frac{5}{30}}\)

W każdej sumie pierwszy czynnik, to p-stwo wylosowania danej urny, drugi czynnik, to p-stwo wylosowaniu dwóch białych kul z tej urny, trzeci czynnik, to p-stwo wylosowania białej kuli w ostatnim losowaniu.