całka i pochodne po czasie

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
zdzislavv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 3 lis 2008, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stamtąd
Podziękował: 7 razy

całka i pochodne po czasie

Post autor: zdzislavv » 30 lis 2008, o 17:32

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} (\dot{y}^2 + \dot{z}^2 + 2y\dot{z} + 2\dot{y}z + 2z)dx \\
y(a)=y_a, \ y(b)=y_b, \ z(a)=z_a, \ z(b)=z_b}\)


Zaczynam więc rozwiązywać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial \dot{y}} = 0\\
\frac{\partial F}{\partial z} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial \dot{z}} = 0 \end{cases} \\
\frac{\partial F}{\partial y} = 2 \dot{z} \\
\frac{\partial F}{\partial \dot{y}} = 2 \dot{y} + 2z\\
\frac{\partial F}{\partial z} = 2 \dot{y} + 2\\
\frac{\partial F}{\partial \dot{z}} = 2 \dot{z} + 2y \\
\begin{cases} 2 \dot{z} = \frac{d}{dt} (2 \dot{y} + 2z) = 0\\
2 \dot{y} + 2 - \frac{d}{dt} (2 \dot{z} + 2y) = 0\end{cases}}\)


I coś nie bardzo wiem, jak dalej obliczyć.
Z góry dzięki, pozdrawiam

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka i pochodne po czasie

Post autor: luka52 » 30 lis 2008, o 22:29

\(\displaystyle{ (2y'+2z)_t' = 2y'' +2z'}\)
Zatem całość uprości się do następującego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y'' = 0 \\ 2 - 2z'' = 0 \end{cases}}\)
A to jest wręcz banalne, bo wystarczy dwa razy obustronnie scałkować po zmiennej \(\displaystyle{ t}\), uwzględnić warunki brzegowa i ostatecznie zapisać wzory funkcji \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\).

ODPOWIEDZ