całka i pochodne po czasie

[zdzislavv]

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} (\dot{y}^2 + \dot{z}^2 + 2y\dot{z} + 2\dot{y}z + 2z)dx \\
y(a)=y_a, \ y(b)=y_b, \ z(a)=z_a, \ z(b)=z_b}\)

Zaczynam więc rozwiązywać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial \dot{y}} = 0\\
\frac{\partial F}{\partial z} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial \dot{z}} = 0 \end{cases} \\
\frac{\partial F}{\partial y} = 2 \dot{z} \\
\frac{\partial F}{\partial \dot{y}} = 2 \dot{y} + 2z\\
\frac{\partial F}{\partial z} = 2 \dot{y} + 2\\
\frac{\partial F}{\partial \dot{z}} = 2 \dot{z} + 2y \\
\begin{cases} 2 \dot{z} = \frac{d}{dt} (2 \dot{y} + 2z) = 0\\
2 \dot{y} + 2 - \frac{d}{dt} (2 \dot{z} + 2y) = 0\end{cases}}\)

I coś nie bardzo wiem, jak dalej obliczyć.
Z góry dzięki, pozdrawiam

[luka52]

\(\displaystyle{ (2y'+2z)_t' = 2y'' +2z'}\)
Zatem całość uprości się do następującego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y'' = 0 \\ 2 - 2z'' = 0 \end{cases}}\)
A to jest wręcz banalne, bo wystarczy dwa razy obustronnie scałkować po zmiennej \(\displaystyle{ t}\), uwzględnić warunki brzegowa i ostatecznie zapisać wzory funkcji \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\).