Pokazac, ze:
a) Dla idealow glownych \(\displaystyle{ (a)}\) i \(\displaystyle{ (b)}\) w przemiennym pierscieniu \(\displaystyle{ (a)(b)=(ab)}\)
b) Niech \(\displaystyle{ R}\) bedzie pierscieniem takim, ze \(\displaystyle{ \forall \gamma , \zeta R}\) \(\displaystyle{ \gamma \zeta \gamma \cap \zeta}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) i \(\displaystyle{ \zeta}\) sa idealami. Skonstruowac przyklad w ktorym \(\displaystyle{ \gamma \zeta \gamma \cap \zeta}\).
Zadanka z pierscienien
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zadanka z pierscienien
a) Zakładam, że ten pierścień jest z jedynką, bo iaczej to nie jest prawda (np \(\displaystyle{ R = 2\mathbb{Z}, \ a = b = 2}\)).
Mamy ogólnie: \(\displaystyle{ (x) = \{xr\ : \ r\in R\}}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ (a)(b) = \{arbs\ :\ r,s\in R\} = \{abrs \ : \ r,s\in R\} = \{abr \ : \ r\in R\}}\)
Ostatnia równość: inkluzja w jedną stronę jest oczywista, bo \(\displaystyle{ rs \in R}\) dla \(\displaystyle{ r, s \in R}\). W drugą wynika z tego, że możemy przyjąć w szczególności \(\displaystyle{ s = 1}\)
b) To co trzeba wynika od razu z definicji ideału (warunek 'wciągania' + ideał jest podgrupą grupy addytywnej).
Przykład: \(\displaystyle{ R = \mathbb{Z}, \ \gamma = \zeta = (2)}\), wtedy \(\displaystyle{ \gamma\zeta = (4)}\) (z a)) natomiast \(\displaystyle{ \gamma\cap \zeta = (2)}\), a te ideały są oczywiście istotnie różne (\(\displaystyle{ 2\not\in (4)}\))
Mamy ogólnie: \(\displaystyle{ (x) = \{xr\ : \ r\in R\}}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ (a)(b) = \{arbs\ :\ r,s\in R\} = \{abrs \ : \ r,s\in R\} = \{abr \ : \ r\in R\}}\)
Ostatnia równość: inkluzja w jedną stronę jest oczywista, bo \(\displaystyle{ rs \in R}\) dla \(\displaystyle{ r, s \in R}\). W drugą wynika z tego, że możemy przyjąć w szczególności \(\displaystyle{ s = 1}\)
b) To co trzeba wynika od razu z definicji ideału (warunek 'wciągania' + ideał jest podgrupą grupy addytywnej).
Przykład: \(\displaystyle{ R = \mathbb{Z}, \ \gamma = \zeta = (2)}\), wtedy \(\displaystyle{ \gamma\zeta = (4)}\) (z a)) natomiast \(\displaystyle{ \gamma\cap \zeta = (2)}\), a te ideały są oczywiście istotnie różne (\(\displaystyle{ 2\not\in (4)}\))