Matematyka.pl

Długość rombu jest równa 3√5cm a jedna z jego przekątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole rombu.

Temat pisz ręcznie, bo wychodzą jakieś niepotrzebne znaczki przy wklejaniu.
Szemek

Co to jest długość rombu?
Zakładając, że masz na mysli długość boku robimy to tak:

Oznaczamy połowę krótszej przekątnej jako d, a połowę dłuższej jako 2d.
Chyba wiadomo skąd to się wzięło.
Przekątne w rombie przecinają się pod katem prostym, więc na mocy tw. pitagorasa możemy policzyć d:

\(\displaystyle{ (3 \sqrt{5}) ^{2}=d 2+(2d) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ d=3}\)

Czyli krótsza przekątna ma 2*3=6, a dłuższa 4*3=12 cm.
Pozostaje wyliczyć pole ze wzoru:
\(\displaystyle{ P= \frac{6 12}{2}=36cm ^{2}}\)

rozumując długość rombu jako długość jego obwodu robimy to tak :
x - krótsza przekątna
2x - dłuższa przekątna
korzystamy z twiedzenia pitagorasa
przekątne przecinają się w polowie pod kątem prostym
\(\displaystyle{ Obw=4a\newline
4a=3\sqrt5\newline
a=\frac{3\sqrt5}{4}\newline\newline
(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}\cdot 2a)^2=(\frac{3\sqrt5}{4})^2 \newline
\frac{1}{4}a^2+a^2=\frac{45}{16} \newline
\frac{5}{4}a^2=\frac{45}{16} \newline
a^2=\frac{45}{16}\cdot \frac{4}{5} \newline
a^2=\frac{9}{4}\newline
a=\frac{3}{2}\newline\newline
P=\frac{a\cdot 2a}{2}=\frac{\frac{3}{2}\cdot 3}{2}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4} cm^2}\)