Pochodne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 16:08

w koncu

\(\displaystyle{ (\frac{3 \sqrt[3]{x}- \frac{3}{x^2} }{ \sqrt{x} })'}\), wynik : \(\displaystyle{ \frac{15}{6 \sqrt[6]{x} } + \frac{9}{2 \sqrt{x^5} }}\) ?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 16:21

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt[3]{x}- \frac{3}{x^2} }{ \sqrt{x} }=3x^{1/3} x^{-1/2}-3x^{-2} x^{-1/2}=3x^{-1/6}-3x^{-5/2} \\ (3x^{-1/6}-3x^{-5/2})'=- \frac{1}{6} 3x^{-7/6}+3 \frac{5}{2} x^{-7/2}=- \frac{1}{2 \sqrt[6]{x^{7}} } + \frac{15}{2 \sqrt{x^{7}} }}\)

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Pochodne funkcji

Post autor: Dedemonn » 6 gru 2008, o 16:23

Jeśli wciąż masz problemy z obliczaniem takich pochodnych, to poćwicz na prostszych, jak np. \(\displaystyle{ \frac{5}{4x\sqrt[3]{x}}}\). Jeśli te opanujesz, to powyższe również nie będą sprawiać problemów, bo to tylko złożenie paru tych samych operacji w całość, a łatwiej Ci się jest pogubić.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 16:25

miki a jakim to sposobem robiles? bo ja wedlug tego, ktory mi tu podales :
miki999 pisze:
2. Ten przykład można doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{1/2}+x^{-1}}{x}= \frac{x^{1/2}}{x}+ \frac{x^{-1}}{x}=x^{1/2} x^{-1}+x^{-1} x^{-1}=x^{-1/2}+x^{-2} \\ Obliczenie \ pochodnej\ jest\ trywialne: \\ (x^{-1/2}+x^{-2})'=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 16:46

Właśnie tym zawartym w cytacie. Przedstaw pełne obliczenia to może wykryjemy błąd.

[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 16:48 ]
Później spróbuj rozwiązać przykład dany przez Dedemonn.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 16:51

to najpierw napisze rozwiazanie przykladu, ktory podal Dedemonn :
\(\displaystyle{ - \frac{5}{3 \sqrt[3]{x^7} }}\) ?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 17:01

Tak!

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 17:06

ok to teraz ten przyklad : jak rozbilam go sobie na ulamek to wyszlo mi jak Tobie, ale jak sie jednak uczepie,zeby wykorzystac wzor na mnozenie tego przykladu otrzymam wynik :

\(\displaystyle{ (\frac{3 \sqrt[3]{x}- \frac{3}{x^2} }{ \sqrt{x} })'}\)=\(\displaystyle{ ( \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} }+ \frac{6}{x^3} )( \frac{1}{ \sqrt{x} })+(3 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{x^2} )(- \frac{1}{2 \sqrt{x^3} } )}\) to bedzie poprawnie?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 17:41

Oczywiście z mianownikiem do kwadratu. Nie widzę błędu, ale radzę najpierw przekształcać wyrażenie do łatwiejszej do policzenia postaci zanim zaczniesz wyznaczać pochodną.

Teraz ja zadam przykład:
\(\displaystyle{ e^{ \frac{2x^{2} \sqrt{x} }{3 \sqrt[6]{x^{2}} } }}\)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 17:47

a czego tam bedzie jeszcze mianownik do kwadratu? zastosowalam w koncu wzor na mnozenie a nie dzielenie

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 17:53

Tak, oczywiście masz rację, dobrze mówisz.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 17:54

w Twoim przykladzie mianownik zaczyna sie od e podniesionego do potegi 3, tak?

mam tu jeszcze dwa przyklady, jeden z nich zaczelam pisac w tym watku i podobniez dobrze bylo, ale wynik koncowy nie jest taki jaki powinien byc.swoje wyniki zostawilam w niewymnozonej postaci i moze dlatego wydaja mi sie byc zle, dlatego chce wiedziec czy jest gdzies blad. i w ogole czy majac polecenie obliczenia pochodnej mozna zostawiac takie dlugie, niewymnozone postaci? :

1)\(\displaystyle{ [(2 \sqrt[3]{x^2} - x)(4 \sqrt[3]{x^4} +2 \sqrt[3]{x^5} + x^{2})]'}\)= \(\displaystyle{ (\frac{4}{3 \sqrt[3]{x} } -1)(4\sqrt[3]{x^4} +2 \sqrt[3]{x^5} + x^{2}) + (2\sqrt[3]{x^2} - x)( \frac{16}{3} \sqrt[3]{x} + \frac{10}{3} \sqrt[3]{x^{2}} +2x})}\) ?

2. \(\displaystyle{ [(4x^{2}-2x \sqrt{x} +x)(2x+ \sqrt{x})]'}\)=\(\displaystyle{ (8x-5 \sqrt{x^3} +1)(2x+ \sqrt{x} ) +(4x^{2}-2x \sqrt{x} +x)(2+ \frac{1}{2 \sqrt{x} })}\) ?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 18:53

W moim przykładzie wszystko jest w potędze liczby e.

Co do Twojego przykładu:
Są to tak długie przykłady, że bardzo czasochłonne byłoby ich upraszczanie. Jeżeli robisz je dla siebie i wiesz ze masz je dobrze to możesz je tak zostawić, jednak wątpię, aby jakiemukolwiek nauczycielowi/wykładowcy chciało się bawić w mnożenie i sprowadzanie wyrażeń tego typu do najprostszej postaci.

W obu tych przykładach wzór: (f*g)'= f'g + fg'

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 20:23

probowalam zrobic Twoj przyklad, ale poki co wyliczenia w mianowniku sa jeszcze troche dla mnie za trudne, wroce jeszcze do tego

a teraz mam tai przyklad, w ktorym stosowalam wzor na dzielenie, ale chyba mam zle obliczenia :

\(\displaystyle{ \frac{x+1}{ \sqrt{1-x} }}\)= \(\displaystyle{ \frac{1( \sqrt{1} -x)-(x+1)( \frac{1}{2 \sqrt{1-x} }) }{1-x}}\) ?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 20:45

ostatni wyraz licznika (1-x) powinno być podniesione do potęgi trzeciej.

ODPOWIEDZ