Pochodne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 5 gru 2008, o 19:50

zaczelam rozwiazywac troche trudniejsze, ale do latwiejszych tez wracam i czasem jeszcze sprawiaja mi klopot, wiec nie zdziwilabym sie, gdybym jakis prostszy przyklad tu znowu podala ;p

1. \(\displaystyle{ f(x)=sin^{4}x}\) potegowanie jest funkcja zewnetrzna, ale i tak nie wiem jak to dalej liczyc.

2.\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}cos4x=2x \ast(cos4x)\ast(-sin)4x + cos\ast4}\) ? chyba cos tu namieszalam ;/

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Pochodne funkcji

Post autor: Dedemonn » 5 gru 2008, o 19:58

Wszelkie pochodne z funkcji złożonych polecam liczyć podstawieniami.
Wtem pierwszy przykład wygląda tak:

1)\(\displaystyle{ f_{(x)} = sin^{4}x = (sinx)^{4}}\)

Podstawiamy od najbardziej wewnętrznej funkcji:


\(\displaystyle{ a = sinx \\
b = a^{4}}\)


Z obu podstawień liczymy pochodną, a końcowy wynik to iloczyn tych pochodnych. Więc:

\(\displaystyle{ a' = cosx \\
b' = 4a^{3} = 4sin^{3}x}\)


Stad

\(\displaystyle{ f'_{(x)} = cosx*4sin^{3}x}\)

Drugi przykład proponuję przećwiczyć w ten sam sposób.

Pozdrawiam.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 5 gru 2008, o 22:33

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \sqrt[3]{x} }{1- \sqrt[3]{x} } = \frac{( \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }) (1- \sqrt[3]{x})-( \sqrt[3]{x})(- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }){}}}}}\)
pod kreska ulamkowa powinien byc mianownik do kwadratu, ale cos zle wpisuje ta formule i mi bledy wyskakuja. ale najwazniejsze jest sprawdzenie mianownika, dobrze jest to policzone? mozna to juz w takiej postaci zostawic?

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Pochodne funkcji

Post autor: Dedemonn » 5 gru 2008, o 22:50

Dobrze policzone.
evelinaa pisze:mozna to juz w takiej postaci zostawic?
Oczywiście, że nie można. Dużo mnożenia nie ma, a 2 elementy się zerują.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 5 gru 2008, o 23:02

no rzeczywiscie

a jeszcze wroce w zasadzie do jednego z najprostszych przykladow :

y=\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = -x^{-2}= \frac{-1}{x^2}}\) ?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 5 gru 2008, o 23:38

Dokładnie

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Pochodne funkcji

Post autor: Dedemonn » 5 gru 2008, o 23:48

Gdyby tam był prim jeszcze, to by było dokładniej. ;]

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 00:02

1. \(\displaystyle{ y=( \frac{2}{ \sqrt{2-3x} })' = \frac{2}{2 \sqrt{2-3x} } \ast(-3)}\) ?

2. \(\displaystyle{ y=\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}}}\) ten przyklad tez zrobilam dwoma metodami i prosze o sprawdzenie

a) \(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }{x}})'}\)= \(\displaystyle{ ( \frac{1}{ 2\sqrt{x} }- \frac{1}{x^2} )\ast \frac{1}{x} + ( \sqrt{x}+ \frac{1}{x})\ast(- \frac{1}{x^2} )}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^3} - \frac{ \sqrt{x} }{x^2}}\)

b)\(\displaystyle{ y=(\frac{ \sqrt{x}+ \frac{1}{x} }x}})'}\)=\(\displaystyle{ (\frac{1}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^2})\ast x -( \sqrt{x}+ \frac{1}{x} ) = \frac{x}{2 \sqrt{x} } - \frac{1}{x^3}- \sqrt{x} + \frac{1}{x}}\), tu zapisalam tylko sam licznik, bo mianownik to wiadomo,ze do kwadratu

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 11:58

1. Podstawienie: t=2-3x
\(\displaystyle{ (2(2-3x)^{-1/2})'=2 (-\frac{1}{2})t^{-3/2} (-3)= \frac{3}{ \sqrt{t^{3}} }= \frac{3}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\)

2. Ten przykład można doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{1/2}+x^{-1}}{x}= \frac{x^{1/2}}{x}+ \frac{x^{-1}}{x}=x^{1/2} x^{-1}+x^{-1} x^{-1}=x^{-1/2}+x^{-2} \\ Obliczenie \ pochodnej\ jest\ trywialne: \\ (x^{-1/2}+x^{-2})'=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 15:20

ale jakbym zostawila postac taka jak w podpunkcie a i b to tez mogloby byc ;p?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 15:37

Na oko można stwierdzić, że te wyniki są różne. Podpunkt. a) jest poprawnie policzony, lepiej by było to doprowadzić do takiego wyniku jaki ja otrzymałem, jednak co, kto lubi . Rozwiązania b) nie chce mi się upraszczać

[ Dodano: 6 Grudnia 2008, 15:40 ]
(W przykładzie b) masz jeden z członów \(\displaystyle{ 1/x^{3}}\). Jeżeli go podzielimy przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ 1/x^{5}}\). Co od razu wykaże nam sprzeczność między naszymi wynikami)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 15:45

zrobilam to jeszcze raz i znowu mi 2 inne wyniki wyszly,rozne tez od tych ktore zapisalam wyzej. wydaje mi sie,ze te umieszczone sa zle z tego zadania 2.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 15:49

Rozwiązanie w przykładzie a), który podałaś powyżej, jest po uproszczeniu identyczne z moim.

Edit. :

\(\displaystyle{ \frac{1}{2x \sqrt{x} } - \frac{2}{x^{3}} - \frac{ \sqrt{x} }{x^{2}}= \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}- \frac{1}{ \sqrt{x^{3}} }=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)
Ostatnio zmieniony 6 gru 2008, o 15:58 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 6 gru 2008, o 15:55

oki;)

a podpunkt b wyliczylam jeszcze raz i wyszedl mi taki wynik w liczniku : \(\displaystyle{ \frac{x}{2 \sqrt{x} }- \frac{2}{x} - \sqrt{x}}\) , teraz jest dobrze?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 6 gru 2008, o 16:02

Tak.

ODPOWIEDZ