Pochodne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 8 gru 2008, o 21:51

Jeżeli wydzielimy funkcje z przykładu to mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{2} \\ g(x)=2^{x} \\ h(x)=cosx \\Czyli\ 3\ funkcje\ (ich\ iloczyn)\ : \\ f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) = x^{2} \cdot 2^{x} \cdot cosx}\)

Złożenie tych funkcji byłoby wtedy, gdybyśmy mieli sytuację f(g(h)) czyli w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ f(g(h(x)))=(2^{cosx})^{2}}\)

Spójrzmy, w jaki sposób została ona utworzona, przesuwamy się od środka na zewnątrz. Mamy g(h(x)), czyli w miejsce 'x' funkcji g(x) podstawiamy h(x).
\(\displaystyle{ g(x)=2^{x} \wedge \ h(x)=cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ g(h(x))=2^{h(x)}=2^{cosx}}\)
Idziemy na zewnątrz mamy f(g(h(x))). W miejsce 'x' funkcji f(x) podstawiamy g(h(x)), co przed chwilą wyznaczyliśmy i otrzymujemy złożenie, które podałem powyżej.

Prostszy przykład:
\(\displaystyle{ f(x)=2x\ \wedge g(x)=cos(x) \ \ \ \ \Rightarrow f \cdot g=2xcosx \ \ \ \wedge g(f)=cos(2x)}\)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 9 gru 2008, o 09:09

dzieki, wydaje mi sie,ze zrozumialam roznice i ,ze nie bedzie mi sie to juz mieszac


1.\(\displaystyle{ [(x )^{x^{2}+2)^{x}]'}\) =\(\displaystyle{ e^{x^{2}+2)^{x} ln x}\) tak to zaczac?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 9 gru 2008, o 17:21

Tak. Chyba zgubiłaś 1 nawias.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 10 gru 2008, o 07:05

w tym pierwszym przykladzie \(\displaystyle{ ( 2^{ \sqrt{x} )'}\) nie korzystamy z tego wzoru, w ktorym pojawi się "e" , bo f jest tylko liczba? gdyby zamiast tej dwójki, bylo np. 2x albo xsinx to wtedy nie stosowalibysmy takiego podstawienia jak tu nizej?
miki999 pisze:\(\displaystyle{ 1.\ Podstawienie: \ t= \sqrt{x} \\ (2^{ \sqrt{x} })'=(2^{t})' ( \sqrt{x} )'= 2^{t} lnt \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\ 2. \\ (sin(2x)cos(3x))'=(sin2x)' cos3x + (sin2x) (cos3x)'=2cos2x cos3x-sin2x 3sin3x}\)

[ Dodano: 7 Grudnia 2008, 17:12 ]
3. ok

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 10 gru 2008, o 18:38

Właściwie to zrobiłem błąd Tyle wcześniejszych zadań było z podstawieniem, że na tym przykładzie się machnąłem.

Oczywiście również powinienem zastosować ten wzór o którym była mowa wcześniej:
\(\displaystyle{ (2^{ \sqrt{x} })'=(e^{ \sqrt{x} ln2})'=2^{ \sqrt{x} } ln2 \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)

Nie możemy robić podstawień jeżeli mamy x w potędze.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 10 gru 2008, o 22:18

chcialam wiedziec, czy dobrze pozaczynalam te przyklady:

1.\(\displaystyle{ ((2sinx)^{x})' = 2\ast e ^{xlnsinx} \ast (xlnsinx)'}\)


2.\(\displaystyle{ (3xsin^{x^{3}})' = e^{x^{3}ln3xsinx} \ast (x^{3}ln3xsinx)'}\)

3.\(\displaystyle{ (3sin \sqrt{x} ^{3x})' = e^{3xln3xsin \sqrt{x}} \ast ({3xln3xsin \sqrt{x})'}\)

i jeszcze prosilabym o rozwiazanie tych dwoch przykladow :

4. \(\displaystyle{ (x^{x^{2x}})'}\)

5. \(\displaystyle{ (x^{x^{x^{2}}})'}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 11 gru 2008, o 14:46

2. Masz iloczyn funkcji (nie wiem czy dobrze zrozumiałem przykład, bo przy sinusie nic nie stoi):
\(\displaystyle{ (3xsinx^{x^{3}})'=(3x)' sinx^{x^{3}} + 3x (sinx^{x^{3}})' \\ 4. \\ (x^{x^{2x}})'=(e^{x^{2x}lnx})'=e^{x^{2x}lnx} (x^{2x}lnx)'=e^{x^{2x}lnx} ( x^{2x} (lnx)' +(x^{2x})' lnx) \\ 5. \\ (x^{x^{x^{2}}})'=(e^{x^{x^{2}}lnx})'=e^{x^{x^{2}}lnx} (x^{x^{2}}lnx)'= e^{x^{x^{2}}lnx} [lnx (x^{x^{2}})' + (lnx)' x^{x^{2}}] \\ Teraz \ x^{x^{2}}\ zamieniamy\ na\ e^{x^{2}lnx}\ i \ dalej\ liczymy\ pochodne.}\)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 11 gru 2008, o 16:43

miki999 pisze:1. Podstawienie: t=2-3x
\(\displaystyle{ (2(2-3x)^{-1/2})'=2 (-\frac{1}{2})t^{-3/2} (-3)= \frac{3}{ \sqrt{t^{3}} }= \frac{3}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\)
tak zastanawiam sie nad tym przykladem i chcialam zapytac skad wziela sie ta -3 w nawiasie (po pierwszym znaku = ) ?

wynik nie powinien byc \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\) ?
miki999 pisze:1. Podstawienie: t=2-3x
\(\displaystyle{ (2(2-3x)^{-1/2})'=2 (-\frac{1}{2})t^{-3/2} (-3)= \frac{3}{ \sqrt{t^{3}} }= \frac{3}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\)
tak zastanawiam sie nad tym przykladem i chcialam zapytac skad wziela sie ta -3 w nawiasie (po pierwszym znaku = ) ?

wynik nie powinien byc \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{(2-3x)^{3}} }}\) ?


2.
miki999 pisze:Właściwie to zrobiłem błąd Tyle wcześniejszych zadań było z podstawieniem, że na tym przykładzie się machnąłem.

Oczywiście również powinienem zastosować ten wzór o którym była mowa wcześniej:
\(\displaystyle{ (2^{ \sqrt{x} })'=(e^{ \sqrt{x} ln2})'=2^{ \sqrt{x} } ln2 \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)
a tutaj dlaczego zamienia się \(\displaystyle{ (e^{ \sqrt{x} ln2})}\) z powrotem na \(\displaystyle{ (2^{ \sqrt{x} })}\) ?

w koncu jest taki wzor jak podales : \(\displaystyle{ (e^{f})' = e^{f} \ast (f)'}\), wiec teoretycznie zostawilabym wynik :\(\displaystyle{ (e^{ \sqrt{x} ln2}) \ast ln2 \ast \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\) czy to byloby zle?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 11 gru 2008, o 17:33

1. -3 wzięło się z podstawienia. Mieliśmy t=2-3x, czyli:
\(\displaystyle{ (2-3x)^{-1/2}=(t^{-1/2})' \cdot (2-3x)'}\)

2. Oczywiście, że byłoby poprawnie, te liczby są sobie równe. Po prostu wydawało mi się, że:
\(\displaystyle{ 2^{ \sqrt{x}}}\)
wygląda 'ładniej' niż:
\(\displaystyle{ e^{ \sqrt{x}ln2}}\)

Oba zapisy są poprawne.

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 11 gru 2008, o 17:39

\(\displaystyle{ (3xsinx^{x^{3}})'=(3x)' sinx^{x^{3}} + 3x (sinx^{x^{3}})'}\)

tutaj w tym przykladzie sie jednak pomylilam i potega stoi za calym nawiasem , moglbys jeszcze raz rozwiazac ten przyklad ?:

\(\displaystyle{ (3xsinx)^{x^{3}})'}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 11 gru 2008, o 17:53

\(\displaystyle{ ((3xsinx)^{x^{3}})'=(e^{x^{3}ln(3xsinx)})'=e^{x^{3}ln(3xsinx)} (x^{3}ln(3xsinx))'= e^{x^{3}ln(3xsinx)} ((x^{3})' ln(3xsinx) +x^{3} (ln(3xsinx))')=e^{x^{3}ln(3xsinx)} (3x^{2} ln(3xsinx) + x^{3} (lnt)' (3xsinx)')=e^{x^{3}ln(3xsinx)} (3x^{2} ln(3xsinx) + x^{3} \frac{1}{t} (3sinx+3xcosx)) \\ (Podstawienie\ t=3xsinx)}\)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 11 gru 2008, o 17:57

Dzieki

a teraz prosze jeszcze o sprawdzenie tego :

1. \(\displaystyle{ ((x^{2}+1)^{x}lnx)' = (e^{xlnx^{2}+1})' \ast lnx + (e^{xlnx^{2}+1}) \ast \frac{1}{x}}\)

2.\(\displaystyle{ (x^{2}ln (lnx))' = 2x \ast ln(lnx) + x^{2} \ast(ln(lnx))'}\)

3. \(\displaystyle{ (e^{x^{2}})' = e^{x^{2}} \ast 2x}\) ?

4. \(\displaystyle{ (5^{x})' = e^{xln5}) \ast (xln5)'}\) , a \(\displaystyle{ (xln5)'}\) to ile, bo zglupialam i nie wiem ;p?
Ostatnio zmieniony 11 gru 2008, o 18:23 przez evelinaa, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 11 gru 2008, o 18:21

Wszystko ok. ln5 jest liczbą stałą taką jak 2, 10, e, pi itd.
(xln5)'=ln5(x)'=ln5

Tak przy okazji, w kartach wzorów zazwyczaj jest gotowy wzór na pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ (a^{x})'=a^{x} \cdot lna}\)

evelinaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 25 paź 2008, o 16:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka ;p
Podziękował: 105 razy

Pochodne funkcji

Post autor: evelinaa » 11 gru 2008, o 18:27

1. \(\displaystyle{ (cosxln3x)'}\) =\(\displaystyle{ -sin ln3x + cosx \frac{1}{x}}\) ? w ksiazce jest inny wynik.

i chyba w zasadzie pytanie do ostatniego przykladu

\(\displaystyle{ (x \sqrt{x} )'}\) mozna zapisac na dwa wymienione sposoby ? :

a)
\(\displaystyle{ (x \sqrt{x} )'}\)=\(\displaystyle{ (x)'\ast \sqrt{x} + x \ast ( \sqrt{x} )'}\)

b)
\(\displaystyle{ (x \sqrt{x} )'}\) = \(\displaystyle{ x^ \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \sqrt{x}}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Pochodne funkcji

Post autor: miki999 » 11 gru 2008, o 19:04

1. Z pewnością niepoprawne rozwiązanie (ja gdzieś tak napisałem? ). Nie może być sytuacji, aby wewnątrz kosinusa była jakakolwiek inna funkcja niż x.

\(\displaystyle{ (cosx ln3x)'=cosx (ln3x)' +(cosx)' ln3x=... \\ Podstawienie:\ t=3x \\ ...=cosx (lnt)' (3x)' -sinx ln3x=cosx \frac{1}{t} 3 -sinx ln3x= \frac{cosx}{x}-sinx ln3x}\)

2. Tak (w b) zapomniałaś o znaku pochodnej po pierwszej równości)

ODPOWIEDZ