scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
koooala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 23 sty 2007, o 13:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osw
Podziękował: 6 razy

scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: koooala » 29 lis 2008, o 14:17

\(\displaystyle{ y'=\frac{t+y}{t}}\)

prosze o odpowiedz od A do Z ... bo nie wiem co się z C dzieje

z gory dzieki

Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: meninio » 29 lis 2008, o 17:26

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=1+\frac{y}{t}}\)

Robimy podstawienie: \(\displaystyle{ \frac{y}{t}=x(t) y=tx(t) \frac{dy}{dt}=x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}}\)

Wstawiamy do równania:
\(\displaystyle{ x(t)+t\frac{dx(t)}{dt}=1+x(t) \\ \\ t\frac{dx(t)}{dt}=1 \\ \\ \frac{dx(t)}{dt}=\frac{1}{t} \\ \\ t \frac{dx(t)}{dt}=\int \frac{1}{t} \\ \\ x(t)=\ln|t|+C}\)

I wracamy do naszej zmiennej: \(\displaystyle{ y=tx(t)=t ft( \ln|t|+C \right)}\)

Awatar użytkownika
koooala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 23 sty 2007, o 13:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osw
Podziękował: 6 razy

scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: koooala » 30 lis 2008, o 17:31

dzieki meninio,

ja otrzymałem taki sam wyniki, w książce natomiast wynik jest taki:

\(\displaystyle{ y=t\ln|Ct|}\)

i nie mam pojęcia jak to C wpadło do logarytmu

mb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 1 lis 2008, o 21:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 10 razy

scałkować podane równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: mb » 30 lis 2008, o 21:31

ponieważ \(\displaystyle{ C}\) jest dowolną stałą, można pisać \(\displaystyle{ \ln ft|C \right|}\) zamiast \(\displaystyle{ C}\),skąd rozwiązanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ t\ln ft|Ct \right|}\)

ODPOWIEDZ