Współrzędne wektora po przejściu między bazami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Współrzędne wektora po przejściu między bazami

Post autor: tiraeth » 29 lis 2008, o 13:16

Mamy macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ \{s_i\}}\) do bazy \(\displaystyle{ \{n_i\}}\) oraz wektor \(\displaystyle{ w}\).

\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{cc} 2&4\\5&-4 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w = 26s_1 + 9s_2}\)

Znaleźć współrzędne wektora w bazie \(\displaystyle{ \{n_i\}}\)

Podobno można to zrobić korzystając z jakiegoś układu \(\displaystyle{ y = A^{-1}b \Rightarrow Ay = b}\), czyli omijając wyznaczanie macierzy odwrotnej, ale za cholerę nie mogę zrozumieć w jaki sposób taki układ równań działa. Czy ktoś mógłby mi to na tym przykładzie wytłumaczyć?

Najgorsze jest to, że mamy koło z przestrzeni liniowych przed URL'ami i w trakcie drążenia w macierzach...

O rany Julek..., poczytałem, pogłówkowałem i udało mi się dojść:

\(\displaystyle{ y = \\ b = }\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} 26 \\ 9 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2&4\\5&-4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right]}\)

I teraz wystarczy wymnożyć macierz.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 26 = 2\beta_1 + 4\beta_2 \\ 9 = 5\beta_1 - 4\beta_2 \end{cases} \begin{cases} \beta_1 = 5 \\ \beta_2 = 4 \end{cases}}\)

Ostatecznie wektor: \(\displaystyle{ \underline{w = 5n_1 + 4n_2}}\)

Można zamknąć temat, i pozostawić dla potomnych. Może ktoś będzie akurat tego szukał...

ODPOWIEDZ