Rozwinięcie w szereg Taylora

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
dizel1988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 30 lis 2006, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 35 razy

Rozwinięcie w szereg Taylora

Post autor: dizel1988 » 29 lis 2008, o 13:14

Witam.

Mam do rozwinięcie w szereg Taylora funkcję: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{3-2x}}\) wokół \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)

Wszystko super, mam wzorek ale ten wzór dotyczy funkcji gdzie mam podane dodatkowo \(\displaystyle{ n}\) i to \(\displaystyle{ n>0}\), wtedy licze tyle pochodnych ile wynosi to \(\displaystyle{ n}\) i jest git ale co w przypadku gdy \(\displaystyle{ n=0}\)?? jak mam policzyć zerowa pochodną? Jest może do tego jakiś inny wzór? Pomóżcie.

I jeszcze jedno, jakim cudem wyszło im \(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{\infty} 2 ^{n+1}(x-1) ^{n}}\)

Czy ktoś to rozumie??

Pozdrawiam

[ Dodano: 2 Grudnia 2008, 17:56 ]
naprawde nikt nie wie jak to się rozwiązuje??

Fanik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 215
Rejestracja: 18 gru 2006, o 16:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 23 razy

Rozwinięcie w szereg Taylora

Post autor: Fanik » 22 lut 2009, o 01:57

Zerowa pochodna funkcji to ona sama.
Tutaj glownym problemem jest odgadniecie (obliczenie) n-tej pochodnej tej funkcji w punkcjie x=1. mozna obliczyc sobie kilka poczatkowych i zobaczyc, ze kazda nastepna jest o dwa wieksza od poprzedniej, stad 2^n+1 we wzorze.

moriturius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 mar 2007, o 10:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Rozwinięcie w szereg Taylora

Post autor: moriturius » 1 cze 2009, o 16:52

Wiem, że stary temat, ale jest też inny bardzo prosty i szybki sposób na zrobienie tego zadania bez liczenia pochodnej.

Wiemy że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_1 y^n = \frac{a_1}{1-y}}\) ponieważ jest to suma szeregu geometrycznego.
Skoro mamy ułamek prosty to możemy sprowadzić go do podobnej postaci:

\(\displaystyle{ \frac {2}{3-2x} = \frac{2}{3-2(x-1)-2} = \frac{2}{1-2(x-1)}}\)

Musi byc (x-1) poniewaz chcemy wiedziec jak jest dla \(\displaystyle{ x_0=1}\). Gdyby było np. \(\displaystyle{ i}\) to chcielibyśmy mieć (x-i).

Weźmy teraz \(\displaystyle{ y = 2(x-1)}\). Otrzymamy wówczas:

\(\displaystyle{ \frac {2}{1-y} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 y^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2 [2(x-1)]^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n+1} (x-1)^n}\)

ODPOWIEDZ