automorfizm grup

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
ddawidd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 22 mar 2007, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy

automorfizm grup

Post autor: ddawidd » 29 lis 2008, o 00:24

Wykazać że dla \(\displaystyle{ n>1 (n N)}\) zachodzi nierównośc \(\displaystyle{ |Aut(Z_n)|}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

automorfizm grup

Post autor: max » 29 lis 2008, o 20:09

Można zauważyć, że każdy taki automorfizm jest jednoznacznie wyznaczony przez wartość na \(\displaystyle{ 1}\) (bo \(\displaystyle{ 1}\) generuje \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\)) i tą wartością musi być jeden z \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) generatorów \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\) (generatory \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\), to klasy liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\)).
Zatem \(\displaystyle{ |\mbox{Aut}(\mathbb{Z}_{n})| = \varphi(n) < n = |\mathbb{Z}_{n}|}\).
(Używając powyższej idei można pokazać, że grupa tych automorfizmów jest izomorficzna z grupą klas liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) z działaniem mnożenia modulo \(\displaystyle{ n}\)).

ODPOWIEDZ