ciągi wymierne zbieżne do 1..

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
raphel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 657
Rejestracja: 9 gru 2007, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czewa/Wrocław
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 138 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: raphel » 28 lis 2008, o 19:24

Zad.
Ile jest ciągów liczb wymiernych zbieżnych do 1.

zadanie wydaje sie podejrzanie krótkie, ale wydaje mi sie że takie nie jest i nie wiem jak go zrobić..

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: max » 28 lis 2008, o 20:00

Jest ich \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Oznaczmy ich zbiór przez \(\displaystyle{ C}\). Skorzystamy z tw Cantora-Bernsteina. Najpierw zauważmy, że ponieważ wszystkich ciągów o wyrazach wymiernych jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), to \(\displaystyle{ \#C\leqslant \mathfrak{c}}\). Z drugiej strony weźmy ciąg przedziałów \(\displaystyle{ I_{n} = ft(1 - \tfrac{1}{n + 1}, 1 + \tfrac{1}{n+1}\right)}\).
Zauważmy, że każdy ciąg \(\displaystyle{ q\in \prod_{n = 0}^{\infty}(I_{n}\cap \mathbb{Q})}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\), a z drugiej strony dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ \#(I_{n}\cap \mathbb{Q}) qslant 2}\), czyli
\(\displaystyle{ \#C qslant \#\prod_{n = 0}^{\infty}(I_{n}\cap \mathbb{Q}) qslant \#\prod_{n = 0}^{\infty}\{0,1\} = \#\{0,1\}^{\mathbb{N}}=\mathfrak{c}}\).

raphel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 657
Rejestracja: 9 gru 2007, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czewa/Wrocław
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 138 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: raphel » 28 lis 2008, o 20:34

max pisze: a z drugiej strony dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ \#(I_{n}\cap \mathbb{Q}) qslant 2}\).
w jaki sposób można to wywnioskować??

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: max » 28 lis 2008, o 20:55

Np \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 1 - \tfrac{1}{n + 2}}\) należą do \(\displaystyle{ \left(1 - \tfrac{1}{n+1}, 1 + \tfrac{1}{n + 1}\right)\cap \mathbb{Q}}\), czyli zbiór ten ma co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) różne elementy.
Ogólnie z tego, że dla każdej liczby rzeczywistej istnieje ciąg liczb wymiernych do niej zbieżny można wywnioskować, że w każdym przedziale otwartym znajduje się przeliczalnie wiele liczb wymiernych.

raphel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 657
Rejestracja: 9 gru 2007, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czewa/Wrocław
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 138 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: raphel » 28 lis 2008, o 21:21

max pisze: \(\displaystyle{ \#\prod_{n = 0}^{\infty}(I_{n}\cap \mathbb{Q}) qslant \#\prod_{n = 0}^{\infty}\{0,1\}}\).
sory, że może jakieś proste i trywialne pytania zadaje, ale chciałbym to zrozumieć...
w jaki sposób mogę właśnie ten cytowany fragment zrozumieć??

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: max » 28 lis 2008, o 21:49

To normalne, że pytasz jak jest coś niezrozumiałego.
Przez zbiór:
\(\displaystyle{ \prod_{n=0}^{\infty}A_{n}}\) rozumiemy zbiór funkcji
\(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\to \bigcup_{n=0}^{\infty}A_{n}}\) takich, że \(\displaystyle{ f(n)\in A_{n}}\).
Cytowany fragment oznacza, że istnieje injekcja ze zbioru funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\to \{0,1\}}\) w zbiór funkcji \(\displaystyle{ g:\mathbb{N}\to \bigcup_{n=0}^{\infty}(I_{n}\cap\mathbb{Q})}\) takich, że \(\displaystyle{ g(n)\in I_{n}\cap\mathbb{Q}}\). Żeby zobaczyć taką injekcję, zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ \#I_{n}\cap \mathbb{Q}\geqslant 2}\), to znajdziemy \(\displaystyle{ a_{n}, b_{n}\in I_{n}\cap \mathbb{Q}}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{n}\neq b_{n}}\) (przykład takich \(\displaystyle{ a_{n}, b_{n}}\) jest w wiadomości wyżej, ale ich postać nie jest dla nas istotna).
Teraz mając funkcję \(\displaystyle{ f: \mathbb{N} \to \{0, 1\}}\) przypisujemy jej funkcję:
\(\displaystyle{ g_{f}:\mathbb{N} \to\bigcup_{n=0}^{\infty}(I_{n}\cap\mathbb{Q})}\) taką, że \(\displaystyle{ g_{f}(n)\in I_{n}\cap\mathbb{Q}}\) definiując:
\(\displaystyle{ g_{f}(n) = \begin{cases}a_{n}, \ f(n) = 0\\ b_{n}, \ f(n) = 1\end{cases}}\)
i zauważamy, że przypisanie \(\displaystyle{ \prod_{n=0}^{\infty}\{0,1\}\ni f \mapsto g_{f}\in \prod_{n=0}^{\infty}(I_{n}\cap\mathbb{Q})}\) jest różnowartościowe.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26953
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4510 razy

ciągi wymierne zbieżne do 1..

Post autor: Jan Kraszewski » 28 lis 2008, o 22:40

A nie mówiłem, że najprościej jest, gdy użyjemy nieskończonego iloczynu kartezjańskiego...
JK

ODPOWIEDZ