rozwiazanie układu trzema metodami: macierzowa, cramera

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
dawidokla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 27 lis 2008, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąporków

rozwiazanie układu trzema metodami: macierzowa, cramera

Post autor: dawidokla » 27 lis 2008, o 20:47

Witam mam do rozwiązania układu równań liniowych trzema metodami: macierzowa, przy pomocy wzoru Cramera i przy pomocy przekształceń elementarnych p=2, q=7
x + y + z -t = p
(p-q) x -(p+q)y -z -3t =-3p
2x +y +2z -2t =p+q
y +z -t =-q

Jak to rozwiązać??

agulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3090
Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 879 razy

rozwiazanie układu trzema metodami: macierzowa, cramera

Post autor: agulka1987 » 28 lis 2008, o 15:02

Wzór Cramera \(\displaystyle{ x_{i}= \frac{detA_{i}}{detA}}\)
Układ równań wpisujesz w macierz i liczysz wyznacznik (detA)
\(\displaystyle{ detA\begin{bmatrix} 1&1&1&-1\\-5&-9&-1&-3\\2&1&2&-2\\0&1&1&-1\end{bmatrix}}\) wiersz 2 + 5*wiersz 1, wiersz 3 + (-2)*wiersz 1
\(\displaystyle{ detA\begin{bmatrix} 1&1&1&-1\\0&-4&4&-8\\0&-1&0&0\\0&1&1&-1\end{bmatrix}= (-1)^2*1*det\begin{bmatrix} -4&4&-8\\-1&0&0\\1&1&-1\end{bmatrix}=4}\)
Teraz liczymy wyznaczniki macierzy powstałych przez zastąpienie poszczególnych kolumn przez kolumnę składającą się z wyników równań
\(\displaystyle{ detA_{x}\begin{bmatrix}2&1&1&-1\\-6&-9&-1&-3\\9&1&2&-2\\-7&1&1&-1\end{bmatrix}=36}\)
\(\displaystyle{ detA_{y}\begin{bmatrix}1&2&1&-1\\-5&-6&-1&-3\\2&9&2&-2\\0&-7&1&-1\end{bmatrix}=-20}\)
\(\displaystyle{ detA_{z}\begin{bmatrix} 1&1&2&-1\\-5&-9&-6&-3\\2&1&9&-2\\0&1&-7&-1\end{bmatrix}=0}\)
\(\displaystyle{ detA_{t}\begin{bmatrix} 1&1&1&2\\-5&-9&-1&-6\\2&1&2&9\\0&1&1&-7\end{bmatrix}=8}\)
Teraz podstawiamy do wzoru
\(\displaystyle{ x=\frac{detA_{x}}{detA} =\frac{36}{4} =9}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{detA_{y}}{detA} =\frac{-20}{4} =-5}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{detA_{z}}{detA} =\frac{0}{4} =0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{detA_{t}}{detA} =\frac{8}{4} =2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=9\\y=-5\\z=0\\t=2 \end{cases}}\)

Metoda przekształceń elementarnych czyli eliminacji Gaussa (dokonujemy takich przekształceń aby macierz po lewej stronie doprowadzić do postaci jednostkowej wówczas po prawej stronie powstanie macierz rozwiązań)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&-1|\left 2\\-5&-9&-1&-3|\left -6\\2&1&2&-2|\left9\\0&1&1&-1|\left-7\end{bmatrix}}\) wiersz2 + 5*wiersz1, wiersz 3+ (-2)*wiersz 1
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&-1|\left 2\\0&-4&4&-8|\left 4\\0&-1&0&0|\left5\\0&1&1&-1|\left-7\end{bmatrix}}\)zamieniamy wiersz 2 z wierszem 3
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&-1|\left 2\\0&-1&0&0|\left5\\0&-4&4&-8|\left 4\\0&1&1&-1|\left-7\end{bmatrix}}\)wiersz2 *(-1), wiersz 3 *(-1/4)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&-1|\left 2\\0&1&0&0|\left-5\\0&1&-1&2|\left -1\\0&1&1&-1|\left-7\end{bmatrix}}\)wiersz 2 *(-1) I dodać do wierszy 1, 3,4
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&-1|\left7\\0&1&0&0|\left-5\\0&0&-1&2|\left 4\\0&0&1&-1|\left-2\end{bmatrix}}\)wiersz 3 dodać do wiersz 1, 4
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1|\left11\\0&1&0&0|\left-5\\0&0&-1&2|\left 4\\0&0&0&1|\left2\end{bmatrix}}\) wiersz 1 + (-1)*wiersz4, wiersz3 + (-2)*wiersz4
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0|\left9\\0&1&0&0|\left-5\\0&0&-1&0|\left 0\\0&0&0&1|\left2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=9\\y=-5\\z=0\\t=2 \end{cases}}\)

Metoda macierzy odwrotnej
Liczysz macierz odwrotną dowolną metodą I podstawiasz do wzoru \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\\z\\t\end{bmatrix}=\frac{1}{detA}*A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0&-1\\2&0&-1&0\\-\frac{29}{4}&-\frac{1}{4}&3&2\\-\frac{21}{4}&-\frac{1}{4}&2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}*\begin{bmatrix} 1&0&0&-1\\2&0&-1&0\\-\frac{29}{4}&-\frac{1}{4}&3&2\\-\frac{21}{4}&-\frac{1}{4}&2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\-5\\0\\2\end{bmatrix}}\)

ODPOWIEDZ