granica funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
oluszek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy

granica funkcji

Post autor: oluszek7 » 27 lis 2008, o 19:22

Obliczyć granice funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

granica funkcji

Post autor: » 27 lis 2008, o 19:42

Mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =
\lim_{ x\to 0+}\left( \left( 1+ \frac{ 2^{x} + 3^{x} - 2}{2}\right)^{\frac{2}{2^x+3^x-2}} \right)^{ \frac{2^x+3^x-2}{2x} }}\)

Największy nawias dąży do \(\displaystyle{ e}\), a ostatni wykładnik z d'Hospitala dąży do \(\displaystyle{ \frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}\), stąd odpowiedź to:
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)

Q.

oluszek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy

granica funkcji

Post autor: oluszek7 » 27 lis 2008, o 20:00

wydaje mi się że gdyby to było \(\displaystyle{ \lim_{ x\to }}\) to wtedy największy nawias dążyłby do e

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

granica funkcji

Post autor: » 27 lis 2008, o 20:12

oluszek7 pisze:wydaje mi się że gdyby to było \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }}\) to wtedy największy nawias dążyłby do e
Nie, wtedy dążyłby do jedynki. Teraz to granica typu \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{\textrm{duże coś}}\right)^{\textrm{duże coś}}}\) przy dużymcosiu dążącym do plus nieskończoności.

Q.

Awatar użytkownika
maatyss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 16 lis 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
Podziękował: 23 razy

granica funkcji

Post autor: maatyss » 27 lis 2008, o 21:23

Qń pisze: \(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)

Q.
Jak to obliczyć bez kalkulatora?

oluszek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 15 razy

granica funkcji

Post autor: oluszek7 » 27 lis 2008, o 21:46

\(\displaystyle{ e^{ \frac{\ln 2+\ln 3}{2} } = e^{ \frac{\ln 6}{2} } = 6^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{6}}\)

Awatar użytkownika
maatyss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 16 lis 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
Podziękował: 23 razy

granica funkcji

Post autor: maatyss » 27 lis 2008, o 22:05

Już wyliczyłem... dzięki

ODPOWIEDZ