Oblicz granice funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Oblicz granice funkcji

Post autor: Dedemonn » 26 lis 2008, o 19:33

Witam.

Obliczyć granice:

1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-1}{x-2}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}\frac{sinx}{x}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}}\)

4) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^{2}-9}}\)

5) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}}\)

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 28 lis 2008, o 10:05 przez Dedemonn, łącznie zmieniany 2 razy.

kiju
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 16 lis 2008, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sochaczew
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Oblicz granice funkcji

Post autor: kiju » 26 lis 2008, o 19:45

3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}* \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x+1}}* \frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}} =}\)

LUB

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x+1})'}{(1-\sqrt{x+1})'} =}\)
Z Hospitala

5) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}(1+ \frac{-3x}{1})^ \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0}[(1+ \frac{1}{ \frac{1}{-3x}})^ \frac{1}{-3x}]^*^\frac{-3x}{1}^*^\frac{1}{x} = e^-^3 = \frac{1}{e^3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{1} * \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{x} = \frac{-3}{1} = -3}\)

Mam nadzieję, że się nigdzie nie walnąłem. Jak coś to sory

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Oblicz granice funkcji

Post autor: Dedemonn » 27 lis 2008, o 15:56

kiju pisze:5) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0}(1+ \frac{-3x}{1})^ \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0}[(1+ \frac{1}{ \frac{1}{-3x}})^ \frac{1}{-3x}]^*^\frac{-3x}{1}^*^\frac{1}{x} = e^-^3 = \frac{1}{e^3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{1} * \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3x}{x} = \frac{-3}{1} = -3}\)
Za 3) dzięki.
W 5) natomiast myślę, że to się sypie, gdyż f-cja dąży do e przy \(\displaystyle{ \infty}\), a tu mamy \(\displaystyle{ x \to 0}\).

Poszukuję podpowiedzi / rozwiązań do pozostałych granic.

Pozdrawiam.

enthorn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 24 lis 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chrzanów

Oblicz granice funkcji

Post autor: enthorn » 27 lis 2008, o 17:23

\(\displaystyle{ x \to 0}\) ale za to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \to }\) i dlatego wychodzi e.

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Oblicz granice funkcji

Post autor: Dedemonn » 28 lis 2008, o 09:26

Skoro tak się ta granica zachowuje, to już 2 granice rozwiązane ;o.

Co do pozostałych to wygląda na to, że więcej odpowiedzi się nie pojawi, więc może zapytam o:

4) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^{2}-9}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} [x] = 2}\), bo dla \(\displaystyle{ 2 qslant x < 3 , [x] = 2}\) oraz dla \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{+}} [x] = 3}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{-}} \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{(x+3)(x-3)} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{(-1)^{[x]}}{x+3} = \frac{1}{6}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(-1)^{[x]}}{x+3} = -\frac{1}{6}}\)

Zatem granica w x=3 nie istnieje.


Co robię źle? (odpowiedź do zadania to \(\displaystyle{ -\infty}\) (czy może w odp. jest błąd?))

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Oblicz granice funkcji

Post autor: scyth » 28 lis 2008, o 09:53

Dedemonn, nie kasuj zadań w pierszym poście - mogą się komuś przydać (jeśli znajdzie się jakiś cudak korzystający z funkcji szukaj...).
Twoje rozwiązanie jest ok. Odpowiedź książkowa byłaby dobra gdyby w liczniku zamiast (x-3) było (x+3).

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

Oblicz granice funkcji

Post autor: Dedemonn » 28 lis 2008, o 10:02

Ała, nie zrobiłem tego specjalnie - już poprawiam. (a zastanawiałem się, gdzie podziała się moja odpowiedź po pierwszym 'wyślij' :) )

ODPOWIEDZ