Granica ciągu z wykorzystaniem liczby e

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Granica ciągu z wykorzystaniem liczby e

Post autor: tiraeth » 26 lis 2008, o 11:55

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ft( \frac{3n+3}{3n+2} \right)^{n+2}}\)

Czy ktoś mógłby mnie naprowadzić, jak to zrobić, żeby nie zapętlić się z użyciem liczby e? (Gdybym w wykładniku dodał 2n i podzielił przez nawias do 2n).

Mniemam, że to będzie:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ft( 1 + \frac{\frac{1}{3}}{n+\frac{2}{3}} \right)^n ft( 1 + \frac{\frac{1}{3}}{n+\frac{2}{3}} \right)^2 \\
1 \lim_{x\to\infty} \frac{ ft( 1 + \frac{1/3}{n+2/3} \right)^{n+2/3} }{ ft( 1 + \frac{1/3}{n+2/3} \right)^{2/3} } = e^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}}\)

Skrzypu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Granica ciągu z wykorzystaniem liczby e

Post autor: Skrzypu » 26 lis 2008, o 13:18

\(\displaystyle{ \lim_{x \to } ft( {3n+3 \over 3n+2} \right)^{n+2}=\lim_{x \to } ft( {3n+2+1 \over 3n+2} \right)^{n+2}=\lim_{x \to } ft( 1+ {1 \over 3n+2} \right)^{n+2}=\lim_{x \to } ft( ft( 1+ {1 \over 3n+2} \right)^{3n+6} \right)^{1 \over 3}=\lim_{x \to } ft( ft( 1+ {1 \over 3n+2} \right)^{3n+2} ft( 1+ {1 \over 3n+2} \right)^{-4} \right)^{1 \over 3}=e^{1 \over 3}}\)

ODPOWIEDZ