Prośba o sprawdzenie: Różnowarościowość i na

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
charonio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 12 paź 2008, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Prośba o sprawdzenie: Różnowarościowość i na

Post autor: charonio » 26 lis 2008, o 01:55

Witam,

serdecznie proszę o pomoc w zadaniu:

Niech \(\displaystyle{ f:X Y}\) i \(\displaystyle{ g: Y Z}\) będą dowolnymi funkcjami. Pokazać, że:
a) jeśli f i g są różnowartościowe, to \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest różnowartościowa.
b) jeśli f nie jest różnowartościowa, to \(\displaystyle{ g \circ f}\)nie jest różnowartościowa.
c) jeśli g nie jest różnowartościowa, to \(\displaystyle{ g \circ f}\) może być różnowartościowa.

oraz sformułować i udowodnić podobne stwierdzenia dla funkcji "na".

a) Niech \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) będą funkcjami różnowartościowymi. Z tego wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\), to \(\displaystyle{ f(x_{1}) f(x_{2})}\) i dalej, że \(\displaystyle{ g(f(x_{1})) g(f(x_{2}))}\), czyli \(\displaystyle{ (g \circ f(x_{1})) (g \circ f(x_{2}))}\). To dowodzi, że \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest funkcja różnowartościowa

b) Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją nie różnowartościową. Z tego wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\), to \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(x_{2})}\) i dalej, że \(\displaystyle{ g(f(x_{1})) = g(f(x_{2}))}\), czyli \(\displaystyle{ (g \circ f(x_{1})) = (g \circ f(x_{2}))}\) dla \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\). To dowodzi, że \(\displaystyle{ g \circ f}\) nie jest funkcja różnowartościowa

c) Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją nie różnowartościową. Z tego wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\), to \(\displaystyle{ g(x_{1}) = g(x_{2})}\) i dalej, że \(\displaystyle{ g(f(x_{1})) = g(f(x_{2}))}\) dla \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\) ,ale wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f(x_{1})=f(x_{2})}\) czyli \(\displaystyle{ g \circ f}\) nie jest funkcja różnowartościowa wtedy, gdy \(\displaystyle{ f}\) jest nie różnowartościowa, natomiast jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową- \(\displaystyle{ f(x_{1}) =f(x_{2})}\) to \(\displaystyle{ g(f(x_{1})) g(f(x_{2}))}\) dla \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest funkcja różnowartościowa, co kończy mój dowód.

Czy to ma sens? No i jak sprawa wygląda dla funkcji "na"? Z góry dziękuje za pomoc.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26916
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4500 razy

Prośba o sprawdzenie: Różnowarościowość i na

Post autor: Jan Kraszewski » 26 lis 2008, o 20:43

a) OK.

b) Wniosek poprawny, rozumowanie (w wersji zapisanej) nie. Otóż z tego, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest różnowartościowa nie wynika, że "jeżeli \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\), to \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(x_{2})}\)", ponieważ to sformułowanie oznacza, że tak jest dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\), co na ogół nie jest prawdą.
Brak różnowartościowości oznacza tylko, że istnieją różne \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(x_{2})}\), co oczywiście wystarcza do dokończenia rozumowania. Drugie zdanie powinno zatem wyglądać tak:
"Z tego wynika, że istnieją \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x_{1})= f(x_{2})}\)..."

c) Źle, błąd ten sam, co w b), a poza tym w drugiej części rozumowania ewidentna pomyłka ("\(\displaystyle{ f(x_{1}) =f(x_{2})}\) to \(\displaystyle{ g(f(x_{1})) g(f(x_{2}))}\)", przecież \(\displaystyle{ g}\) nie jest różnowartościowa!), odpowiedź niepoprawna (ale podejrzewam, że nawet bez tej pomyłki byłaby zła).
Odpowiedź poprawna: \(\displaystyle{ g \circ f}\) może być różnowartościowa, ale nie wystarcza do tego różnowartościowość funkcji \(\displaystyle{ f}\) (niech \(\displaystyle{ f,g:\mathbb{R} \mathbb{R},\ f(x)=x, g(x)=x^2}\); \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i co z tego...). Potrzeba jeszcze by funkcja \(\displaystyle{ g}\) po obcięciu do obrazu funkcji \(\displaystyle{ f}\) była różnowartościowa.

JK

ODPOWIEDZ