Losujemy śruby, tworzymy liczby

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Hansacid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 lis 2008, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 1 raz

Losujemy śruby, tworzymy liczby

Post autor: Hansacid » 25 lis 2008, o 23:32

Witam serdecznie. Zapomniałem swojego starego nicku i nowe konto musiałem założyć....


Z 3 zadaniami nie mogę sobie poradzić. Bardzo proszę o pomoc np. wskazanie jak to trzeba rozwiązać , samu już mogę policzyć.

Zad. 1
Ile można utworzyć różnych liczb czterocyfrowych z cyfr 3,4,5,7 jeżeli cyfry mogą się powtarzać i na miejscu setek występuje cyfra 4?

Zad. 2
W pudełku znajduje się 20 śrub w tym 6 wadliwych. Losujemy jednocześnie 5 śrub. Ile istnieje sposobów wylosowania 5 śrub w tym co najwyżej 1 wadliwej?

Zad. 3
Do kina wybrało się 7 osób: wśród nich 3 dziewczyny i 4 chłopców. Kupili 7 biletów na miejsca znajdujące się w jednym rzędzie, obok siebie. Na ile sposobów mogą zając te miejsca, jeżeli dziewczyny chcą siedzieć obok siebie, a chłopakom jest wszystko jedno gdzie będą siedzieć?


Pozdrawiam

thralll
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 29 maja 2008, o 23:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 54 razy

Losujemy śruby, tworzymy liczby

Post autor: thralll » 26 lis 2008, o 14:25

zad1
Na pierwszym, trzecim i czwartym miejscu mogą znajdować się 4 cyfry na drugim tylko jedna, korzystając z reguły mnożenia:
4*1*4*4=64

Hansacid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 lis 2008, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 1 raz

Losujemy śruby, tworzymy liczby

Post autor: Hansacid » 26 lis 2008, o 18:27

A w zad. 3 będzie 3! 7! ?

L_b
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 6 lis 2008, o 16:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 1 raz

Losujemy śruby, tworzymy liczby

Post autor: L_b » 26 lis 2008, o 18:49

No niezbyt. Załóżmy, że 3 dziewczyny to "jedna oisoba", wtedy sposobów rozmieszczenia tychże jest 5! (4 chłopaków + dziewczyny), mogą one jednak "permutować między sobą", a takich permutacji jest 3!, więc ostatecznie mamy \(\displaystyle{ 3! 5! = 720}\)

Zaś w zadaniu drugim, brutalnie:
Mamy 6 możliwości wylosowania śruby wadliwej, więc jeżeli chcemy mieć \(\displaystyle{ 1 qslant k qslant 5}\) śrub wadliwych to tych możliwości jest \(\displaystyle{ {6 \choose k}}\) (ilość k-elementowych podzbiorów zbioru śrub wadliwych). Chcemy mieć w sumie 5 śrub, więc 5-k dobrych, a że dobrych jest 20-6=14, to analogicznie mamy \(\displaystyle{ {14 \choose 5-k}}\). Wybory te są niezależne i czynimy je razem, więc je mnożymy (tak się robi, nie wiem, jak się taka zasada nazywa, ale jest ona intuicyjna). Ponieważ nie obchodzi nas ile to k rzeczywiście wynosi, to dodajemy do siebie możliwości dla wszystkich k:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{5} {6 \choose k} {14 \choose 5-k}}\)
Czego nie chce mi się liczyć, ale coś tam się powinno poskracać.

//EDIT: myślałem, że chodzi o "co najmniej". W wariancie "co najwyżej" jednej sumujemy od k=0 do 1.

Ale ja z kombinatoryki niezbyt, wiec jakby były jakieś błędy, krzyczcie.

Hansacid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 lis 2008, o 23:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 1 raz

Losujemy śruby, tworzymy liczby

Post autor: Hansacid » 26 lis 2008, o 19:12

Wynik wyszedł 8008. Nie ma tu ustalonej kolejności, więc chyba powinno być dobrze.

ODPOWIEDZ