Prośba o sprawdzenie: funkcja x->x^2 na zbiorach

[charonio]

Witam,

mam do zrobienia zadanko: Niech \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R; x \rightarrow x^2}\) i niech \(\displaystyle{ A=(-2,4>, B=}\). Zbadać, czy zachodzą równości:

\(\displaystyle{ f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)}\)
No i to prosto:
\(\displaystyle{ A \cup B =(-2,5>
f(A \cup B)=
f(A)= f(B)=}\) czyli \(\displaystyle{ f(A) \cup f(B)=}\)
No to równość spełniona, problem mam w przypadku:

\(\displaystyle{ f^-1(A \cup B)=f^-1(A) \cup f^-1(B)}\)
funkcją odwrotna do \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R; x \rightarrow x^2}\) będzie miała postać o ile się nie mylę \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R; x^2 \rightarrow x}\)
no i skoro \(\displaystyle{ x^2 \rightarrow x \Rightarrow |x| \rightarrow \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(A \cup B)=(-2,5>}\) biorąc tutaj jako dziedzinę \(\displaystyle{ f(A \cup B)=}\), a za przeciwdziedzinę \(\displaystyle{ A \cup B =(-2,5>}\) (Chociaż dla \(\displaystyle{ (-2,0)}\) funkcja wydaje się być nieokreślona w związku z tym, przeciwdziedzina ma postać \(\displaystyle{ }\) to \(\displaystyle{ f^-1(A \cup B)=}\)
czy też może (w zależności od przeciwdziedziny tej funkcji odwrotnej, czy tam jej działania):
\(\displaystyle{ f^{-1}(A \cup B)=(- \sqrt{5} , \sqrt{5} >}\) lub \(\displaystyle{ < 0 , \sqrt{5} >}\) biorąc tutaj jako dziedzinę \(\displaystyle{ (A \cup B)=(-2,5>}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}(A)=}\) lub \(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(B)=}\) lub \(\displaystyle{ }\)
No i czy tak, czy siak równość jest spełniona, ale który sposób jest właściwy?

Mam jeszcze przykład typu \(\displaystyle{ f^{-1}(f(A))=A}\) i prosiłbym o rozwiązanie.

Drogie Bravo pomóż! Z góry dziękuję za okazaną pomoc

[Jan Kraszewski]

mam do zrobienia zadanko: Niech \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R; x \rightarrow x^2}\) i niech \(\displaystyle{ A=(-2,4>, B=}\). Zbadać, czy zachodzą równości:

\(\displaystyle{ f^-1(A \cup B)=f^-1(A) \cup f^-1(B)}\)
funkcją odwrotna do \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R; x \rightarrow x^2}\) będzie miała postać o ile się nie mylę \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R; x^2 \rightarrow x}\)
no i skoro \(\displaystyle{ x^2 \rightarrow x \Rightarrow |x| \rightarrow \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(A \cup B)=(-2,5>}\) biorąc tutaj jako dziedzinę \(\displaystyle{ f(A \cup B)=}\), a za przeciwdziedzinę \(\displaystyle{ A \cup B =(-2,5>}\) (Chociaż dla \(\displaystyle{ (-2,0)}\) funkcja wydaje się być nieokreślona w związku z tym, przeciwdziedzina ma postać \(\displaystyle{ }\) to \(\displaystyle{ f^-1(A \cup B)=}\)
czy też może (w zależności od przeciwdziedziny tej funkcji odwrotnej, czy tam jej działania):
\(\displaystyle{ f^{-1}(A \cup B)=(- \sqrt{5} , \sqrt{5} >}\) lub \(\displaystyle{ < 0 , \sqrt{5} >}\) biorąc tutaj jako dziedzinę \(\displaystyle{ (A \cup B)=(-2,5>}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}(A)=}\) lub \(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(B)=}\) lub \(\displaystyle{ }\)
No i czy tak, czy siak równość jest spełniona, ale który sposób jest właściwy?

Żaden. Nie istnieje funkcja odwrotna do f.
Mylisz przeciwobraz z funkcją odwrotną. Tu i tu występuje "-1", ale to dwie różne bajki.
Jeśli \(\displaystyle{ f:X \to Y}\) i \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), to przeciwobrazem zbioru B jest zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}[B{}]=\{x\in X:f(x)\in B\}}\)
(ja używam nawiasów kwadratowych, co chroni przed takimi pomyłkami, jak Twoja).

W szczególności dla Twoich zbiorów mamy
\(\displaystyle{ f^{-1}[A]=[-2,2],\ \ f^{-1}[B{}]=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}],\ \ f^{-1}[A\cup B]=[-\sqrt{5},\sqrt{5}]}\)
Równość oczywiście zachodzi, ale to nie dziwota. Dla dowolnych zbiorów A, B mamy
\(\displaystyle{ f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B{}]=f^{-1}[A\cup B]}\).

JK

[charonio]

Dziękuję bardzo Na usprawiedliwienie mogę podać jedynie fakt, że nie miałem na wykładzie czegoś takiego jak przeciwobraz zbioru ~~ no, ale teraz jak myślę mimo wszystko umiem