Matematyka.pl

Jak sprawdzić czy dowolna liczba całkowita dodatnia jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych?

Ha tez sie kiedys z tym meczylem ale w koncu doszedlem
Pokarze Ci to na przykladzie. Np. sprawdzmy czy liczba 1000 jest roznica kwadratow dwoch liczb calkowitych (przez x i y oznaczmy sobie te liczby)
Mamy wiec:
x^2-y^2=1000
(x-y)(x+y)=1000
teraz mozesz sobie np. rozlozyc 1000 na czynniki pierwsze (w rozkladzie umiesc tez 1 bo mimo iz nie jest liczba pierwsza to tez trzeba bedzie ja sprawdzic)
Teraz mamy jakby iloczyn dwoch liczb, mianowicie: x-y i x+y.
I np. 1000=1*1000, wiec mamy uklad rownan
x-y=1 i x+y=1000. I teraz sprawdzasz czy ten uklad rownan ma rozwiazania calkowite. Jesli nie to szukasz kolejnych iloczynow (np.
1000=2*500 i tez robisz uklad rownan) i tak az do wyczerpania wszystkich przypadkow. Jesli znajdziesz taki uklad rownan, ktory ma rozwiazania calkowite, to masz rozwiazanie. Po kilku przykladach zauwazysz pewna zaleznosc i ona pozwoli Ci szybciej rozstrzygac takie zadanie. Albo Ci od razu powiem, jesli znajdziesz taki iloczyn, ze oba jego skladniki sa parzyste (np. tutaj 1000=2*500), to odpowiedz jest TAK. Ale zeby sie do tego przekonaca to musisz sam zrobic kilka przykladow.
Powodzenia

wiesz też doszedłem do tego, nawet mam dowód że dla wszystkich liczb nieparzystych poza 1 i chyba 3 to zachodzi, ale jak sprawdzić liczbę wyrażaną w milionach

polecam poszukanie literatury dotyczacej teorii liczb.

Dopiszę się pod tym starym wątkiem, bo szkoda żeby problem nie doczekał się prostej odpowiedzi.
Zauważmy że \(\displaystyle{ (x+1)^2-x^2=2x+1}\) więc liczby nieparzyste są przedstawialne.
Zauważmy że \(\displaystyle{ (x+1)^2-(x-1)^2=4x}\) więc liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) są przedstawialne.
Zauważmy że liczby podzielne tylko przez \(\displaystyle{ 2}\) a nie \(\displaystyle{ 4}\) nie są różnicą kwadratów-
jeśli \(\displaystyle{ x^2-y^2}\) parzysta to \(\displaystyle{ x,y}\) jednakowej parzystości i \(\displaystyle{ (x-y)(x+y)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2}\).