1 równanie logarytmiczne

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Marta99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 gru 2006, o 13:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 26 razy

1 równanie logarytmiczne

Post autor: Marta99 » 25 lis 2008, o 04:36

wiem że już późno ale to w akcie desperacji bo nic mi nie wychodzi, b. prosze o pomoc w równaniu :

\(\displaystyle{ 2log_x3*log_{3x}3=log_{9 \sqrt{x} } 3}\)
i drugie
\(\displaystyle{ log_3(3^x-8)=2-x}\)

Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

1 równanie logarytmiczne

Post autor: sea_of_tears » 25 lis 2008, o 10:10

to na początek zrobię drugie, wystarczy skorzystać z definicji logarytmu a potem rozwiązać równanie z podstawieniem
\(\displaystyle{ \log_{3}(3^x-8)=2-x \newline
3^x-8>0 \Rightarrow 3^x>8 \Rightarrow x>log_{3}8\newline\newline
3^{2-x}=3^x-8\newline
3^2 \cdot 3^{-x}=3^x - 8\newline
9 \cdot \frac{1}{3^x}=3^x-8 \newline
\frac{9}{3^x}=3^x-8\newline
3^x=t, t>0\newline
\frac{9}{t}=t-8 / \cdot t\newline
9=t^2-8t\newline
t^2-8t-9=0\newline
\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot (-9)=100\newline
\sqrt{\Delta}=10\newline
t_1=\frac{8-10}{2}=-1\newline
t_2=\frac{8+10}{2}=9\newline\
3^x=9\newline
3^x=3^2\newline
x=2}\)


[ Dodano: 25 Listopada 2008, 10:29 ]
pierwszy przykład za to ze wzorów na zmianę logarytmu,potem skorzystanie ze wzorów na logarytm iloczynu, a na koniec znowu podstawienie
a i policz sobie do końca już dziedzinę :P
\(\displaystyle{ 2log_{x}3 \cdot log_{3x}3=log_{9\sqrt{x}}3 \newline
x>0 \wedge x \neq 1 \wedge 3x>0 \wedge 3x \neq 1 \wedge 9\sqrt{x}>0 9\sqrt{x} 1\newline\newline
2log_{x}3 \frac{log_{x}3}{\log_{x}{3x}}=\frac{log_{x}3}{\log_{x}{9\sqrt{x}}}/: log_{x}3\newline
\frac{2\log_{x}3}{log_{x}3x}=\frac{1}{log_{x}{9\sqrt{x}}}\newline
\frac{2\log_{x}3}{log_{x}3+\log_{x}x}=\frac{1}{log_{x}9+\log_{x}{\sqrt{x}}}\newline
\frac{2\log_{x}3}{\log_{x}3+1}=\frac{1}{\log_{x}3^2+\frac{1}{2}}\newline
\frac{2\log_{x}3}{\log_{x}3+1}=\frac{1}{2\log_{x}3+\frac{1}{2}}\newline
log_{x}3=t\newline
\frac{2t}{t+1}=\frac{1}{2t+\frac{1}{2}}\newline
2t\cdot (2t+\frac{1}{2})=t+1\newline
4t^2+t=t+1\newline
4t^2-1=0\newline
t^2-\frac{1}{4}=0\newline
(t-\frac{1}{2})(t+\frac{1}{2})=0\newline
t=\frac{1}{2} t=-\frac{1}{2}\newline
log_{x}3=\frac{1}{2}\newline
x^{\frac{1}{2}}=3\newline
x=9\newline
\newline
log_{x}3=-\frac{1}{2}\newline
x^{-\frac{1}{2}}=3\newline
x=\frac{1}{9}}\)

ODPOWIEDZ