Matematyka.pl

Udowodnić, że dla liczb \(\displaystyle{ x,y\in \RR_+}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}(y^2+2x^2)-xy^2(1+2\sqrt{2})+2y^3 \geqslant 0.}\)
Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

Musisz to wyliczyc. Z tego wyjdzie ci ze:

\(\displaystyle{ 2x^{3}+3y^{3}+2x^{2}y-2\sqrt{2}xy^{2} \geqslant 0}\)

Teraz, skoro wiemy ze: \(\displaystyle{ x,y \in\RR_+}\), to jakakolwiek bys liczbe dodatnią pod x i y nie podstawil, zawsze będzie wieksze od 0, co widac po przeksztalceniu:

\(\displaystyle{ 2x^{3}+3y^{3}+2x^{2}y \geqslant 2\sqrt{2}xy^{2}}\)

ogre pisze:Musisz to wyliczyc. Z tego wyjdzie ci ze:

\(\displaystyle{ 2x^{3}+3y^{3}+2x^{2}y-2\sqrt{2}xy^{2} \geqslant 0}\)

Jak do tego doszedłeś?

klaudiak pisze:

ogre pisze:Musisz to wyliczyc. Z tego wyjdzie ci ze:

\(\displaystyle{ 2x^{3}+3y^{3}+2x^{2}y-2\sqrt{2}xy^{2} \geqslant 0}\)

Jak do tego doszedłeś?

wyglada na to, ze wedlug ogre \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} = x + y}\)
ta nierownosc pewnie zlozy sie w jakis kwadrat badz ich sume, ale jakos na razie nie moge wymyslec jak to zrobic
swoja droga ten drugi wniosek w jego wypowiedzi to tez nie mam pojecia skad sie wzial

ogre pisze:Musisz to wyliczyc. Z tego wyjdzie ci ze:

\(\displaystyle{ 2x^{3}+3y^{3}+2x^{2}y-2\sqrt{2}xy^{2} \geqslant 0}\)

Teraz, skoro wiemy ze: \(\displaystyle{ x,y \in R_+}\), to jakakolwiek bys liczbe dodatnią pod x i y nie podstawil, zawsze będzie wieksze od 0, co widac po przeksztalceniu:

\(\displaystyle{ 2x^{3}+3y^{3}+2x^{2}y \geqslant 2\sqrt{2}xy^{2}}\)

Również nie widzę tu nic mądrego.

A co do nierówności, po przemnożeniu przez nawiasy masz:
\(\displaystyle{ y^2\sqrt{x^2+y^2}-xy^2+2x^2\sqrt{x^2+y^2}+2y^3 \geqslant 2\sqrt{2}xy^2 \Leftrightarrow \\
y^2(\sqrt{x^2+y^2}-x)+2x^2\sqrt{x^2+y^2}+2y^3 \geqslant 2\sqrt{2}xy^2 \\}\)
ponieważ \(\displaystyle{ 2x^2\sqrt{x^2+y^2}>2x^2y}\), wystarczy udowodnić, że prawdziwa jest nier.:
\(\displaystyle{ y^2(\sqrt{x^2+y^2}-x)+2x^2y+2y^3 \geqslant 2\sqrt{2}xy^2}\)
- jest ona prawdziwa ponieważ z nier. Cauchy'ego mamy, że \(\displaystyle{ 2x^2y+2y^3 \geqslant 4xy^2}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}>x}\)

A jak udowodnić taką, minimalnie zmodyfikowaną nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}(y^2+2x^2)-xy^2(1+2\sqrt{2})+2x^3 \geqslant 0}\)
również dla rzeczywistych dodatnich.?

PS
Dziękuje za pomoc w poprzedniej.

[ Dodano: 23 Listopada 2008, 15:53 ]
Zadanie napisałam jako nowy temat " Udowodnić nierówność(2)", bo zauważyłam, że użytkownicy są raczej przeciwni podpinaniu nowych zadań do innych tematów, a to w sumie można uznać za inne zadanie.