Matematyka.pl

Bardzo proszę o pomoc w obliczniu granicy:\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } sin \sqrt{n+1} -sin \sqrt{n}}\)

Dziękuję z góry za pomoc:)

Najszybciej z tw. o pochodnej:

Jest \(\displaystyle{ f}\) jest rozniczkowalna, to \(\displaystyle{ \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t\in[a,b]}\).

Stosujemy dla \(\displaystyle{ f(x)=\sin\sqrt x}\). Mamy:

\(\displaystyle{ \left(\sin\sqrt x\right)'=-\frac{\cos x}{x^2}}\)

\(\displaystyle{ |\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}|=\left|\frac{\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}}{n+1-n}\right|=\left|-\frac{\cos x}{x^2}\right|}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ x\in[n,n+1]}\). Dla takich \(\displaystyle{ x}\) mamy:

\(\displaystyle{ \left|-\frac{\cos x}{x^2}\right|}\)

Jezeli u kogos slabiej z pochodną to latwiej jest zastosowac wzór na róznice sinusów a nastpenie pomnozyc przez sprzezenie sam sinus bo cos bedzie zawsze

Nico mógłbyś podać jakiś zapis po sprzężeniu?