Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ z\inC}\) spełniające równania:
\(\displaystyle{ z^3=-1-i}\)
Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze sprowadzeniem do postaci trygonometrycznej.
Ma może ktoś pomysł jak to zrobić dla \(\displaystyle{ z_0, z_1, z_2}\)?

\(\displaystyle{ a=-1 \ ; \ b=-1 \\ |z|= \sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{2} \\ \begin{cases} \cos \varphi=\frac{a}{|z|}=\frac{-1}{ \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \varphi=\frac{b}{|z|}=\frac{-1}{ \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases} \varphi=\frac{5\pi}{4} \\ \\ z=|z|(\cos \varphi + i\sin \varphi) \\ \\Potem \ korzystasz \ ze \ wzoru \ na \ pierwiastki \ liczb \ zespolonych: \\ \\ z_k= \sqrt[n]{|z|}(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}), gdzie \ k \lbrace0,1,2,...,n-1\rbrace}\)

Poprawiony kąt.

A możesz rozwinąć jak wyszło Ci \(\displaystyle{ \varphi= \frac{5\pi}{2}}\)

Jasne (tylko mała poprawka, bo źle wpisałem) \(\displaystyle{ \sin \varphi \ i \ \cos \varphi \ dla \ kata \ \frac { \sqrt{2}}{2} \ wynosi \ \frac {\pi}{4}}\) a ponieważ sin i cos jest ujemny, to kąt leży w III ćwiartce, czyli należy: \(\displaystyle{ \\ \\ \frac {\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}.}\)

Teraz wszystko rozumiem Przyczepiłem się bo w moich obliczeniach (nie miałem jak srawdzić wyniku i robiłem zadanie na czuja) wyszło mi właśnie, że \(\displaystyle{ \varphi= \frac{5\pi}{4}}\)
Jeszcze raz wielkie dzięki za wytłumaczenie
Pozdro