Matematyka.pl

Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8 tworzymy liczby szesciocyfrowe. Ile mozna utworzyc takich liczb w ktorych cyfra 1 wystepuje co najmniej 3 razy, a pozostale cyfry sa rozne miedzy soba?

Gdy 1 wystepuje 6 razy - 1 możliwość
Gdy 1 wystepuje 5 razy:
\(\displaystyle{ {7 \choose 1} 6=42}\) bo tą jedną cyfrą będzie któraś z 7 pozostałych, i możemy ją ustawić na 6 miejscach
Gdy 1 występuje 4 razy
\(\displaystyle{ {7 \choose 1} {6 \choose 1} {6 \choose 1} {5 \choose 1}}\) bo te dwie różne od 1 cyfry możemy wybrać:pierwszą spośród 7 a drugą z pozostałych 6. teraz ustawienie ich-pierwszą cyfrę możemy na kazdym z 6 miejsc ustawić a druga już na każdym z 5 miejsc
Gdy 1 występuje 3 razy
\(\displaystyle{ {7 \choose 1} {6 \choose 1} {5 \choose 1} {6 \choose 1} {5 \choose 1} {4 \choose 1}}\) pierwszą z 7 wybieramy drugą z 6 a trzecią z 5.ustawienie: pierwsza moze zająć każde z 6 miejsc druga każde z 5 a trzecie z czterech

Zsumuj wszystko i powinno wyjść dobrze

eeee troche nie tak bo z twojego rozumowania wychodzi ponad 25 000 mozliwosci. a ja potrzebuje 7638. Moje rozumowanie bylo takie ze:
Dla 3 jedynek:
\(\displaystyle{ {6 \choose 3} * 8 * 7 * 6}\) - jedynki mozemy ustawiac na dowolnych miejscach i musimy je podzielic na 3!. Potem zostaja 3 wolne miejsca wiec na jednym ustawimy jedna z osmiu cyfr na drugim jedna z 7 na trzecim jedna z 6
Dla 4 jedynek:
\(\displaystyle{ {6 \choose 4} * 8 * 7}\)- rozumowanie analogiczne jak powyzej
Dla 5 jedynek
\(\displaystyle{ {6 \choose 5} * 8}\)
Dla 6 jedynek - 1 mozliwosc

Razem mi wyszlo 7609 wiec mysle ze jestem na lepszym tropie niz ty...
A co do tych 3 dowolnych cyfr to one sie maja nie powtarzac miedzy soba wiec wsrod nich tez moze byc 1

Coś mi ta odpowiedź nie pasuje, a Twoje rozumowanie tez jest błędne, bo nie możemy uwzględniać osmiu cyfr gdy uwzględniłeś ,że będą 3 jedynki, bo z tych pozostałych 8 też jeest jedynka i jeśli ją wybrałbyś to już nie bedziesz miał 3 jedynek tylko 4 co jest sprzeczne z Twoim założeniem ,że 3 jedynki masz ;p

Dla 3 jedynek:
\(\displaystyle{ C ^{3} _{6} \overline{V} ^{3} _{1} V ^{3} _{7} = 4200}\)
Dla 4 jedynek:
\(\displaystyle{ C ^{4} _{6} \overline{V} ^{4} _{1} V ^{2} _{7} = 630}\)
Dla 5 jedynek:
\(\displaystyle{ C ^{5} _{6} \overline{V} ^{5} _{1} V ^{1} _{7} = 42}\)
Dla 6 jedynek:
\(\displaystyle{ C ^{6} _{6} \overline{V} ^{6} _{1} V ^{0} _{7} = 1}\)
Razem:
\(\displaystyle{ 4200 + 630 + 42 + 1 = 4873}\)