Matematyka.pl

Równanie \(\displaystyle{ x ^{4} - (4+ \sqrt{2} ) x^{3} + (4 \sqrt{2} -3)x ^{2} + (12 +3 \sqrt{2})x -12 \sqrt{2} = 0}\) ma cztery różne pierwiastki z których dwa są liczbami przeciwnymi. Rozwiąż to równanie

Edit. Mój błąd już poprawione

(Niechcący usunęłam posta, w którym pytałam o dokładną postać równania^^)

Wiemy, że równanie ma 4 piewiastki: a, -a, b, c. W związku z tym, możemy je równoważnie zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ (x-a)(x+a)(x-b)(x-c)=0}\)

Po wymnożeniu otrzymamy równanie:

\(\displaystyle{ x^4-(b+c)x^3+(bc-a^2)x^2+a^2(b+c)x-a^2bc=0}\)

Teraz przyrównujemy współczynniki przy kolejnych wyrazach:

\(\displaystyle{ b+c=4+\sqrt{2} \\
bc-a^2=4\sqrt{2}-3 \\
a^2(b+c)=12+3\sqrt{2} \\
a^2bc=12\sqrt{2}}\)

Z tego układu równań wyliczamy a,b,c i juz

Wielkie dzięki za pomoc