pare zadań do wytłumaczenia z granic ...

[MitS]

Witam!

Mam pare przykłądów, których nie wiem jak wykonać. Chodzi głównie o potęgi, x zmierzające do jakiejś liczby itp. Gdybyście mi rozwiązali te zadania i przy rozwiązaniu napisali czemu jest tak a nie inaczej to będe wdzięczbny i kiedyś z pewnością się odwdzięcze

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty } (3 - (\frac {2}{3})^n) * 5^n}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty } \frac {2n^4 - 13}{4n^2 + 13n - 1}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty } (\frac {10}{log x} - e^x)}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty } (7^x + 5x^3 + 4)}\)
e) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -4 } \frac {3x}{(x+4)^x}}\)
f) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^+ } \frac {3x^2 - 5x}{x + 1}}\)

No to jest takich 6 standardowych zadań, których między innymi mam na kartce z pracą domową.
Bo sprawa ma się tak, że zadań mam coś koło 50 i proszę was o wykonanie całych zadań i ich wytłumaczeniu bym miał jakiś punkt zaczepienia, przy robieniu kolejnych bo wybrałem takie, które są bardzo podobne do pozostałych i jeżeli tych nie wykonam to i reszty nie będe umiał. Więc jak by ktoś o dobrym sercu mi pomógł to naprawde będe zobowiązany.
Pozdrawiam

[Mbach]

W pierwszym \(\displaystyle{ ({2 \over 3})^n}\)dąży do 0. więc wyrażenie w nawiasie do 3. \(\displaystyle{ 5^n}\) dąży do nieskończoności, więc iloczyn niekończenie wielką przez stały czynnik jest nieskończenie wielką. Cały więc pierwszy przykład dąży do niekończoności.

W drugim przykładzie: podziel licznik i mianownik przez zmienną w drugiej potędze (mianownik nie może znikać)(n^2)przykład sam sie zrobi.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot n^2 - {13 \over n^2}}{4 + {13 \over n} + {1 \over n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2 - 0}{4 + 0 + 0} = }\)

Co do czwartego widać że \(\displaystyle{ \lim_{n\to-\infty}7^x}\); \(\displaystyle{ 5x^3}\)dąży do nieskończoności do n jest w nieparzystej potędze, cała granica więc do \(\displaystyle{ -\infty}\)

Jeśli chodzi o granice funkcji w punkcie - ostatnie przykłady, musisz sprawdzić wartość funkcji przy zbliżaniu się do np. -4. czyli badasz znak funkcji dla -2, -3 potem dla np. 0 i 1 (granica lewostronna i prawostronna mogą być różne od siebie) i stwierdzasz granicę (zawsze jest to nieskończoność bądź - niesk. - przy "dzieleniu" przez zero przechodząc do granicy)

W c będzie granicą - niekończoność, w pierwszym elemencie 10/logx logx będzie funkcją rosnącą i w dodatku nieograniczoną, całe więc 10/logx dąży do 0 (10 dzielisz przez coraz to większe liczby), a \(\displaystyle{ -e^x}\) pozostawiam bez komentarza

[MitS]

Dzięki tylko mam dwa pytania...
Jak będzie w trzecim i czemu wyrażenie w nawiasie \(\displaystyle{ (2/3)^n}\) dąży do zera, natomiast \(\displaystyle{ 5^n}\) dąży do plus nieskończoności ???

Pozdrawiam

[Mbach]

Dlatego ponieważ ułamek: \(\displaystyle{ ({2 \over 3})}\) podniesiony do coraz to większej potęgi będzie się coraz to bardziej zmniejszał. Jeśli nie wierzysz to możesz to potraktować z definicji: dla każdego \(\displaystyle{ \forall_{\epsilon>0}\exists_{N>0}\forall_{n>N}(({2 \over 3}^n-0)}\)

[Gobol]

\(\displaystyle{ \frac{2}{3}^n}\) dązy do 0 gdyż 2/3 jest liczbą mniejszą niż 1. To jest dość logiczne że to dązy do 0 , możesz sobie to sprawdzić nawet na kalkulatorze , wpisuj ciągle * 2 potem dziel przez 3 i zobaczysz ze bedziesz otrzymywał coraz mniejsze liczby aż do 0.
\(\displaystyle{ 5^n}\) dąży do nieskończności, gdyż jeżeli przemnożysz dowolną liczbe przez 5 to otzymasz liczbę większą od niej, a tu mnozysz tak w nieskończoność a więc będziesz otrzymywał cały czas coraz większe liczby.

[MitS]

ok to kumam
Jeszcze tylko bym poprosił o pomoc w zadaniu c)
Pozdro

[Mbach]

No, a jaki jest dokładnie ten twój problem ?